в догматической форме во избежание малейшего недопонимания. Я убежден, что математическая реальность находится вне нас, что наша задача – открывать или просто
наблюдать ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем собственными «творениями», – всего лишь заметки по ходу наших наблюдений. Такого видения в той или иной мере придерживались многие выдающиеся философы, начиная с Платона, и я пишу языком, естественным для человека, разделяющего именно эту точку зрения. Читатель, не согласный с такой философией, волен поменять терминологию – только на мои заключения это мало повлияет.
23
Пожалуй, контраст между чистой и прикладной математикой ярче всего проявляется в геометрии. К чистой геометрии[91] относятся такие науки, как проективная, евклидова, неевклидова и прочие геометрии. Каждая из них представляет собой модель, некую совокупность идей, ценность которых определяется оригинальностью и красотой конкретной модели. Они как карта или картина – совместное творение множества рук, субъективная и несовершенная (хотя точная в пределах своих границ) копия фрагмента математической реальности. Однако сейчас для нас важнее то, что по крайней мере в одном аспекте чистые геометрии картинами не являются: они не отражают пространственно-временну´ю реальность физического мира. Впрочем, это закономерно, ведь землетрясения и затмения – не математические концепции.
Звучит несколько парадоксально, однако для любого геометра это трюизм. Попробую пояснить свою мысль на примере. Допустим, я читаю лекцию по одной из систем, скажем, по евклидовой геометрии, и для наглядности черчу на доске линии, окружности или овалы. Во-первых, очевидно, что верность доказываемых теорем ни в коей мере не зависит от качества моих рисунков. Последние служат лишь подспорьем для моих слушателей, и если они меня понимают, то я ничего бы не выгадал, пригласив профессионального чертежника. В данном случае иллюстрации – всего лишь часть педагогического процесса, не влияющая на суть лекции.
Двигаемся дальше. Аудитория, в которой проходит лекция, – часть физического мира, имеющая определенную форму. Само по себе изучение этой формы, как и любой другой в физической реальности, – тоже наука, которую можно назвать «физической геометрией». Представьте теперь, что в аудиторию поместили мощный генератор или громадный магнит. Физики скажут, что геометрия комнаты поменялась, что ее физическая форма немного, но заметно исказилась. Остались ли верны доказанные мной теоремы? Разумеется. Никто бы и не подумал утверждать, что это хоть как-то повлияло на приведенные доказательства. Это было бы равносильно утверждению, что пьеса Шекспира изменилась оттого, что читатель пролил на книгу чай. Пьеса совершенно не зависит от страниц, на которых напечатана, так и «чистая геометрия» не зависит от лекционной аудитории или какой-либо иной составляющей физического мира.
Именно так мыслит математик-теоретик. Прикладные математики и математические физики, естественно, придерживаются другой точки зрения, так как их заботит физический мир, который также имеет свою структуру и законы. Нельзя в точности описать эти законы, как в чистой геометрии, но можно сказать о них нечто значимое. Мы можем описать – порой довольно точно, порой лишь в общих чертах – отношения между отдельными составляющими физического мира и сравнить их с отношениями между составляющими какой-нибудь из систем теоретической геометрии. Если мы обнаружим сходство между двумя наборами отношений, чистая геометрия вызовет интерес у физиков, потому что явит нам кусочек карты, согласующийся с реалиями физического мира. Геометр предлагает физику множество карт на выбор. Не исключено, что одна из карт будет больше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, явившая наилучшую карту, станет наиболее важной для прикладной математики. Ценность такой геометрии может подняться даже в глазах теоретика, ибо нет математика, напрочь лишенного интереса к физическому миру; но чем сильнее он поддастся искушению, тем больше сдаст позиции чистого теоретика.
24
Здесь напрашивается еще одно парадоксальное для физиков замечание, хотя сейчас оно выглядит менее парадоксальным, чем восемнадцать лет назад. Выражу его теми же словами, как и в 1922 году на собрании Британской ассоциации. Тогда моя аудитория почти целиком состояла из физиков, поэтому мои заявления могли прозвучать несколько провокационно. Что же касается их содержания, я по-прежнему придерживаюсь этого мнения.
Я начал с утверждения, что разница в позиции математика и физика сильно преувеличена, и, что еще важнее, у математика куда более непосредственный контакт с действительностью. Такое заявление может показаться парадоксальным, ведь именно физики имеют дело с «материальной реальностью». Впрочем, несложно понять, что, какой бы ни была реальность физика, в ней мало или вообще нет признаков того, что под реальностью подразумевает здравый смысл. Стул может быть как множеством взаимосвязанных электронов, так и божественным замыслом: любое из этих определений имеет свои достоинства, но ни одно не соответствует представлениям здравого смысла.
Далее я сказал, что ни физикам, ни философам до сих пор не удалось дать убедительное определение «физической реальности» или объяснить, как от запутанного нагромождения фактов или ощущений физик переходит к созданию объектов, которые зовутся «реальными». Поэтому утверждать, будто нам понятна суть физики, мы не можем, зато вполне представляем себе, чем именно занимается физик. Физик пытается свести разрозненную массу не связанных между собой фактов к некой упорядоченной системе абстрактных отношений, позаимствовать которую можно только в математике.
Математик же, напротив, имеет дело с собственной математической реальностью, на которую я смотрю с точки зрения «реалиста», а не «идеалиста», как объяснил в двадцать второй главе. В любом случае (в чем и состоял мой главный тезис) реалистичный взгляд возможен скорее в математической, чем в физической реальности, потому что объекты в математике куда ближе к тому, чем кажутся. Стул или звезда нисколько не похожи на то, какими нам видятся; и чем больше мы о них думаем, тем размытее их очертания в тумане порождаемых ими ощущений. Тогда как число «2» или «317» никак не зависит от ощущений, а их свойства становятся лишь отчетливее по мере их изучения. Современная физика как раз лучше всего вписывается в идеалистическую философию: я этому не верю, но так говорят признанные физики. Фундаментальная же математика представляется мне камнем, на котором зиждется весь идеализм: 317 – простое число не потому, что мы так думаем или наше мышление имеет ту или иную направленность, а потому, что так оно и есть, так устроена математическая реальность.
25
Хотя различия между чистой и прикладной математикой сами по себе существенны, на «полезность» математики они никак не влияют. В двадцать первой главе я говорил о «настоящей» математике Ферма и других выдающихся ученых – той, что имеет непреходящую эстетическую ценность. Так, лучшие примеры древнегреческой математики вечны,
