Рассмотрим принцип наименьшего действия на примере шара (частицы) на холме. В момент времени t1 шар находится в точке x1, в момент t2 — в точке x2.
![]()
Как будет действовать человек, который застрял в парадигме Лапласа? Найдет ускорение с помощью F = ma, а затем будет его интегрировать. Но это неверно. Нам неизвестна скорость шара в точке x1, и мы не можем принять ее равной нулю, так как иначе он может не достичь точки x2 в указанное время. Мы также не можем считать, что точка x2 является точкой поворота: известно лишь, что шар находится там в момент t2. Тем не менее мы знаем достаточно, чтобы понять, как движется шар между этими точками. Быть может, из точки x1 он покатится по холму вверх, а затем развернется и устремится к точке x2. В любом случае действие на его траектории будет наименьшим, а в конечный момент времени он достигнет конечной точки, имея нужную для этого скорость.
Что значит наименьшее действие? Действие — это интеграл от лагранжиана, разности между кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия не может быть отрицательной, а значит, она должна быть как можно меньше. Однако она не может быть нулевой, поскольку неподвижный шар никогда не достигнет конечной точки. Шар должен двигаться достаточно быстро, чтобы пройти нужное расстояние за нужное время, но не более того.
Кажется, что свести к минимуму «отрицательный потенциал» несложно. Найти точку с очень большим значением V(x), и тогда — V(x) будет иметь очень малое значение (в этой задаче мы будем считать отрицательные числа малыми). Но здесь возникает противоречие с предыдущим абзацем. Если из точки x1 шар сначала движется в точку с большим потенциалом, чтобы вовремя успеть к точке x2, придется развить большую скорость, а это требует большой кинетической энергии. Мы же стремимся свести ее к минимуму.
Нужно найти такой компромисс между большой потенциальной и малой кинетической энергией, чтобы в указанные моменты времени шар находился в указанных точках. В результате этой работы будет построена траектория, которая полностью соответствует классическим уравнениям движения. Математически принцип наименьшего действия эквивалентен принципам, установленным Ньютоном.
Удивительно: второй закон Ньютона — главный принцип, основа классической механики, — утверждает, что сила, воздействующая на объект, равна его массе, умноженной на ускорение. В формулировке принципа наименьшего действия слово «сила» вообще отсутствует. Но несмотря на различия, оба принципа приводят к одним и тем же результатам.
Какой же из принципов более правилен? Природа движется из начального положения, проходя точку за точкой, момент за моментом, как говорил нам Лаплас? Или из множества возможных путей, соединяющих две точки, природа делает выбор в пользу того, где действие минимально?
Ни то ни другое. Природа — это природа, и делает то, что делает. Мы, люди, изо всех сил стремимся ее понять и осмыслить в придуманных нами терминах. Одно и то же явление может быть описано по-разному, и по большому счету нам нет нужды выбирать, решать, какой из способов «более верный». Мы просто должны быть готовы мыслить в терминах, которые дают наилучшее понимание.
Четыре. Пространство
До сих пор мы говорили о событиях, то есть о чем-то, что происходит. Шары катятся с холмов, грузы колеблются на пружинах, планеты вращаются вокруг Солнца. Вся эта жизнь имеет место не в пустоте, а в пространстве, совокупности всех возможных мест, где что-то может находиться. Пространство упоминалось уже не раз, с первых абзацев главы 1, но мы пока не задумывались о нем, ведь очевидно, что каждый человек в какой-то степени знаком с этим понятием. Теперь настало время копнуть поглубже. Какими свойствами обладает пространство и почему? Зачем вообще необходимо нечто, называемое пространством?
Точно ответить на все эти вопросы нельзя. Но можно подумать о свойствах пространства, об их взаимосвязи с другими особенностями нашего мира. Что такое пространство: вещество или свойство каких-то объектов? Что значит трехмерность? Какие физические характеристики позволяют нам мыслить в терминах пространства? Эти вопросы приведут нас к изучению еще одной формулировки классической механики: после механик Ньютона и Лагранжа мы познакомимся с точкой зрения Гамильтона. В отличие от других предшественников, Гамильтон вообще не считает пространство чем-то особенным, а значит, такой подход будет очень полезен при разговоре о нем.
Вещество или взаимосвязь?
В начале XVIII века, когда классическая механика только зарождалась, ученые задавались вопросом, верно ли, что пространство «существует»? По мнению одних, оно является веществом, то есть мир состоит из объектов и пространства, внутри которого они находятся. Пространство служит для них своего рода контейнером и существует независимо от них. Такое мнение кажется вполне естественным.
Но есть и другая точка зрения: пространство — не материальный предмет, а просто удобный способ представить себе, что все объекты связаны друг с другом некоей величиной — «расстоянием между ними», то есть пространство представляет собой взаимосвязь. Но если мы соглашаемся с тем, что все объекты в мире связаны между собой расстояниями, потребность в чем-то дополнительном под названием «пространство» отпадает. Мы продолжаем говорить о нем исключительно ради удобства.
Два эти взгляда на природу пространства — «субстанциализм» и «реляционизм» — активно обсуждались в переписке между Сэмюелем Кларком из Англии и Лейбницем. С ним мы уже знакомы: он придумал дифференциальное исчисление и был во многих отношениях непримиримым соперником Ньютона. Ученые часто спорили друг с другом. Ньютон, правда, любил обращаться к Лейбницу через посредников вроде Кларка.
На этот спор Кларка и Лейбница сподвигла Каролина Ансбахская, прусская дворянка, одним из воспитателей которой как раз и был Лейбниц. Позже она переехала в Англию, где ее муж Георг Август стал сначала принцем Уэльским, а затем — королем. Каролина любила науку и философию. Имея иммунитет к оспе, она активно продвигала вариоляцию (которая в те времена заменяла вакцинацию).
Однажды, когда Каролина уже жила при британском дворе, Лейбниц прислал ей письмо, в котором критиковал взгляды английских философов, прежде всего Джона Локка и Ньютона, за недостатки с теологической точки зрения. Принцесса же, то ли в шутку, то ли с умыслом, показала письмо Кларку — другу Ньютона и по совместительству англиканскому священнику. Кларк, разумеется, написал Лейбницу ответ. Так начался этот спор: Кларк говорил, что пространство абсолютно, а Лейбниц отстаивал релятивистскую точку зрения, которая возникла под большим влиянием Декарта. При этом известно, что Ньютон по меньшей мере советовал Кларку, что написать, хотя кое-кто из исследователей считает, что он чуть ли не сам писал эти письма.
Переписка оборвалась со смертью Лейбница в 1716 году. Дошедшие до наших дней письма — блестящий образец ранней научной философии: помимо природы пространства в них обсуждаются и другие вопросы, к примеру о сущности бога и свободе воли. Сегодня большинство физиков согласны с Ньютоном и считают пространство «вещью в себе». На это есть две причины. Во-первых, пространство между объектами не пусто: оно наполнено различными полями. Во-вторых, пространство (как часть пространства-времени) живет собственной жизнью. Эйнштейн показал, что его геометрия может меняться со временем под действием энергии. Мы будем говорить об этом в главе 8.
Но окончательного ответа у физиков нет. Вопрос, который когда-то был критически важным для развития науки, не решен до сих пор и отложен на будущее. Так иногда бывает. Развитие науки — не только в познании нового, но и в оценке того, что является злободневным на данный момент, а что можно отложить или проигнорировать. Не все вопросы остаются интересными в процессе изучения. И не на все вопросы можно дать ответ. Сейчас популярно мнение, что пространство возникает из квантовой запутанности, а не является самостоятельной субстанцией. Так что, возможно, в каком-то смысле реляционизм однажды восторжествует.
