Читаем без скачивания Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

V(x) ≈ cx2. (3.11)

А это просто парабола, то есть мы получаем простой гармонический осциллятор. Это удивительный результат: в отсутствие трения, при малых отклонениях от точки равновесия почти любую колебательную систему можно аппроксимировать простым гармоническим осциллятором[7]. Шар у подножия холма, груз на пружине, маятник или атом, смещающийся внутри молекулы, амплитуда звуковой волны или электрического тока, даже значение поля бозона Хиггса — если систему можно описать в терминах кинетической и потенциальной энергии, рядом с точкой, где она минимальна, потенциал можно аппроксимировать параболой, а значит, физически эта система будет вести себя как гармонический осциллятор. Такое соответствие не будет точным, поскольку вдали от точки равновесия члены (3.10) с большими степенями будут иметь значение. Однако такие усложнения можно добавить к модели позже.

Итак, мы видим, как сферические коровы становятся реалистичными и философия обретает практический смысл. Мы не просто рассматриваем донельзя упрощенные системы и надеемся на лучшее.

Идея взять сложное выражение и записать его в виде бесконечного ряда слагаемых, как в уравнении (3.9), применима к широкому кругу задач. И нам очень часто везет: последующие члены ряда меньше, чем несколько первых. Поэтому появился систематический метод, известный как теория возмущений: мы записываем формулу, которая показывает работу системы как сумму из двух частей: несложной основы и небольшого возмущения. Затем мы находим решение для основной части и начинаем постепенно накладывать все остальное. Иногда (не всегда) Вселенная помогает нам понимать ее.

Фазовое пространство

Согласно парадигме Лапласа, траектория системы определяется скоростью и положением всех ее частей в какой-то момент времени. Мы уже знаем, что импульс объекта равен произведению его массы на скорость, . Поскольку обычно мы рассматриваем системы с постоянной массой, то для предсказания поведения системы указание «позиции и импульса» эквивалентно указанию «позиции и скорости». Когда мы перейдем к более сложным вопросам физики (то есть уже в следующей главе), мы сможем понять, что с определенной точки зрения импульс значительно более важен, чем скорость, и будем использовать именно его.

Множество всех возможных импульсов и положений системы называется ее фазовым пространством:

(Фигурные скобки {} обычно обозначают множество.) Чтобы проследить движение системы в соответствии с механикой Ньютона, достаточно указать, в какой точке фазового пространства она находилась в тот или иной момент времени. Другими словами, фазовое пространство — это множество всех возможных состояний, в которых может находиться система.

Рассмотрим один довод в пользу того, что импульс более важен, чем скорость. Ускорение представляет собой производную скорости по времени. Второй закон Ньютона неявным образом предполагает, что масса объекта всегда постоянна. Поскольку константа может быть вынесена за знак производной, можно представить себе эту формулу не как произведение массы на производную скорости, но как производную произведения массы на скорость:

(3.12)

Поэтому можно переписать второй закон Ньютона, выразив силу через импульс:

(3.13)

В таком виде уравнение становится не только более компактным, но и более общим, поскольку остается в силе даже для объектов с переменной массой (например, для ракеты, которая постепенно становится легче, сжигая топливо). Сила показывает изменение импульса с течением времени.

В мире, который мы знаем, объекты находятся в трехмерном пространстве. Но математики, а следом за ними и физики, понимают слово «пространство» в более общем смысле: как некое множество с какой-то дополнительной структурой. Поэтому «множество всех возможных положений отдельного объекта» — это не что иное, как старое доброе трехмерное пространство. В отличие от него фазовое пространство является шестимерным: три измерения определяют положение, три других — импульс (который представляет собой трехмерный вектор).

Если система состоит из N частиц, расположенных в трехмерном пространстве, можно говорить о ее конфигурационном пространстве, которое имеет размерность 3N и показывает трехмерное положение каждой из частиц. Поскольку каждая частица обладает также трехмерным импульсом, существует и соответствующее 6N-мерное фазовое пространство. Система «Земля и Луна» — это два объекта, которые движутся в трехмерном пространстве. Поэтому фазовое пространство этой системы будет иметь размерность 12. И это если не принимать в расчет, что планеты — совсем не частицы, и надо бы учесть их ориентацию и моменты инерции.

В общем случае фазовое пространство — это математическая конструкция с очень большой размерностью, которая зависит от конкретной системы. Впервые эта идея нашла применение в работах Людвига Больцмана, Джеймса Клерка Максвелла и других ученых XIX века, которые занимались статической механикой и регулярно рассматривали системы из большого числа частиц. При этом под «большим числом» традиционно понимается число Авогадро, 6 × 1023, которому примерно равно количество атомов в одном грамме атомарного водорода.

Один грамм — немного, но все же заметно для человека, поэтому все, что имеет такой или больший размер, можно смело назвать макроскопическим. Множество, состоящее из числа Авогадро частиц, можно описать фазовым пространством с размерностью 3,6 × 1024. И это очень много.

Однако размерность фазового пространства может быть совсем не большой. Например, простой гармонический осциллятор имеет одномерное конфигурационное пространство (положение x), поэтому фазовое пространство будет двумерным: {x, p}. Его несложно и полезно нарисовать.

На этом рисунке показаны три возможные траектории какого-то простого гармонического осциллятора в фазовом пространстве. Импульс и положение изменяются циклически, но из разных начальных точек. Когда положение равно нулю, импульс достигает максимума и наоборот. Поэтому эти траектории будут эллипсами, размеры которых определяются начальным условиями. (Обратите внимание: речь идет об эллипсах в фазовом пространстве. В реальном пространстве осциллятор перемещается вперед и назад. Фазовое пространство устроено совсем по-иному. Нам нет нужды говорить о «скорости в фазовом пространстве», поскольку вся траектория определяется только начальной точкой.) Частота колебаний не зависит от начальной амплитуды. Поэтому один оборот по эллипсу система будет совершать за одно и то же время, каких бы размеров он ни был.

Чтобы немного развлечься, давайте посмотрим, что будет, если в системе появится трение, то есть возьмем осциллятор с затуханием, а не простой. Интуитивно мы знаем ответ: начнутся колебательные движения, но потеря энергии приведет к постепенному уменьшению амплитуды. Траектория такой системы в фазовом пространстве будет иметь форму спирали, сходящейся к центру.

Пространство путей

Мы много говорили о шарах, катящихся с холмов, и осцилляторах, которые движутся вперед и назад. Порадуем же себя чем-нибудь сногсшибательным.