Читаем без скачивания Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Непрерывность времени (либо какой-то другой величины) означает, что между точками, разделенными, на наш взгляд, каким-то конечным расстоянием, лежит бесконечное число других, промежуточных точек. Мы можем проверить это, представив себе линию, изображающую время, которое течет из прошлого в будущее. Поставим на ней две точки и обозначим их t = 0 и t = 1.

На полпути между ними можно поставить еще одну точку: t = 1/2. Однако таким же образом можно поступить и с отрезком между t = 0 и t = 1/2: отметить его середину t = 1/4. Далее мы найдем и отметим точки t = 1/8, 1/16, 1/32… Какой бы отрезок мы ни взяли, у него всегда найдется середина (например, t = 3/4, 7/8, 15/16, 31/32 и так далее между t = 0 и t = 1). То есть между любыми двумя точками на непрерывной прямой будет бесконечно много других точек.

Примечательно то, что количество точек между 0 и 1 так же бесконечно, как и между —∞ и +∞. Это немного странно, ведь мы привыкли считать, что часть множества состоит из меньшего числа элементов, чем все множество целиком. Но бесконечность — нечто особенное. Мы можем изобразить интервал между 0 и 1 в виде следующей функции:

Здесь всем значениям x от —∞ до +∞ однозначно соответствуют значения y от 0 до 1. Построить аналогичную функцию для —∞ и +∞ по оси y нельзя, поскольку между х и y не будет точных и однозначных соответствий.

Можно решить, что все бесконечные величины каким-то непостижимым образом одинаковы. Ведь умножив бесконечность на 2 (или другое число больше 0), мы получим в результате бесконечность. Но разве количество целых чисел равно количеству четных? Нет, все немного сложнее. Георг Кантор, немецкий математик XIX века, доказал, что есть разные степени бесконечности. Согласно теореме Кантора, есть бесконечно много целых чисел и бесконечно много реальных, однако последних больше, чем первых. Открытие вызвало всеобщее неодобрение. Многие математики усомнились в представленных доводах, а современник Кантора Леопольд Кронекер даже назвал его «растлителем молодежи». Сегодня ученые в целом согласны с доказательством теоремы, но все же не склонны считаться с выводами, которые из нее следуют.

Важно ли это все для физики? Может и нет. Мы, люди, — существа ограниченные. На практике ни один из нас не заметит разницы между «бесконечным» и «очень большим» (или «нулевым» и «очень маленьким»). Так что, описывая наш мир, мы можем сами решать, что считать бесконечностью. Тем не менее не следует путать то, что может представить себе человек, и то, что на самом деле существует в природе. Возможно, когда-нибудь кто-то предложит единый, универсальный подход ко всем проблемам непрерывности и бесконечности. На данный момент такого подхода нет.

Три. Динамика

Представьте себе два дерева, растущие на некотором расстоянии друг от друга. Где-нибудь в парке, на совершенно ровном участке. Встаньте возле одного из них и нацельтесь на другое. Зажмурьте глаза и двигайтесь вперед. Если у вас хорошее чувство направления, никто не будет сбивать вас и не окажется на пути, через какое-то время вы дойдете до цели — второго дерева. Открыв глаза и посмотрев на свои следы, вы увидите, что шли по прямой.

Теперь попробуйте действовать по-другому. Возьмите веревку и привяжите один конец к первому дереву, а другой — ко второму. Натяните веревку и посмотрите на результат: получится прямая, проходящая ровно над следами из прошлого опыта.

Это и очевидно, и примечательно. Мы хорошо понимаем, что означает «прямая», но можем построить ее разными способами. Один из них — двигаться, не меняя направления, другой — найти кратчайший путь между начальной и конечной точками. Первый способ соответствует локальной философии в духе парадигмы Лапласа, о которой мы говорили в прошлой главе. Действительно, в каждый момент времени мы делаем что-то, что в конце концов приводит нас к определенному результату. Второй способ глобален, как законы Кеплера: из многих способов расположить веревку между деревьями выбран самый короткий. Оба способа, хоть и разные, дают в итоге одинаковый результат.

Физика работает точно так же. Мы уже говорили про идею Лапласа: данные о состоянии системы на какой-то момент времени позволяют нам шаг за шагом проследить за ее развитием в будущем. Но тот же результат можно получить совсем по-другому, исходя из совсем иного набора фундаментальных понятий. Поэтому возникает вопрос: какой из способов лучше, более эффективен? Если результат все равно один, возможно, нет разницы, как его получить. Мы не знаем окончательных формулировок законов физики, а потому одна из дорог может оказаться менее петляющей. Как однажды сказал Ричард Фейнман, одну и ту же мысль можно выразить по-разному, но «на пути в неизвестность все способы будут идентичны с психологической точки зрения».

В прошлой главе мы говорили об «изменении» в целом как исключительно общем понятии. В этой главе мы обсудим динамику, то есть изменения, подчиняющиеся формулам физики. Мы рассмотрим свойства некоторых физических систем и что говорит о них классическая механика. Размышляя о кинетической и потенциальной энергии, мы сделаем интересные выводы о динамике разных объектов. В итоге мы заново сформулируем законы механики, посмотрим на них более глобально, с учетом истории системы в целом, сквозь призму того, что сейчас называется «принципом наименьшего действия».

Важные сведения о движении

Рассмотрим парадигму Лапласа чуть более систематично. Чтобы не усложнять, представим себе частицу, которая движется в трехмерном пространстве. Состояние такой системы определяется положением (вектором ) и скоростью, которая представляет собой производную положения по времени, . Таким образом, мы получаем шесть чисел: три для положения и три для скорости.

Порядок действий таков. Мы говорим о какой-то конкретной системе, к примеру, о «шаре, катящемся с холма» или «планете, вращающейся вокруг Солнца». У нас есть данные об этой системе, известные на момент времени t0. Анализируя ситуацию, мы можем определить результирующую силу , которая действует на объект, например силу тяготения, с которой Солнце притягивает планету. Далее по второму закону Ньютона находим ускорение и узнаем в результате не только исходные данные , но и как быстро они изменяются:

Теперь при помощи дифференциального исчисления мы в состоянии построить траекторию движения объекта .

Это на удивление гибкий алгоритм. Мы много говорим о частицах, но классическая механика — наука значительно более общая. Возьмем некий пространственный объект: твердое, жидкое или газообразное тело, и поглядим на него макроскопически, как на единое целое, а не набор атомов. Мы можем сказать, что любой бесконечно малый кусок, «элемент объема» этого тела dV находится под действием внешних сил: гравитационных, электрических или каких-то иных. Но это не всё. На этот элемент объема будут воздействовать и другие такие же элементы, которые находятся рядом с ним. Если мы знаем положение и скорость рассматриваемого элемента, а также действующие на него силы, законы Ньютона подскажут нам траекторию его движения. Тогда благодаря дифференциальному исчислению мы сможем вывести уравнения для системы в целом, то есть сложить воедино все элементы объема.