(2.9)
На следующем рисунке мы видим график функции f(x) = x2, а также углы наклона касательных в точках x = –2, –1, 0, 1, 2. При отрицательных x уклон параболы отрицательный, при положительных x — положительный.
![]()
Аналогичные формулы имеются для многих других случаев: любых степеней и корней x, логарифмов, синусов и косинусов, произведений функций и т. д. Некоторые примеры приведены в приложении A.
Множество формул и правил, которые нужно понять и запомнить, делают высшую математику скучной и сложной для изучения. Она приносит огромную пользу ученым, но наша цель — понять, как устроен мир. Тем, кто не метит в академики, достаточно взять от физики только самое интересное. Дифференцирование позволяет определить наклон кривой, то есть, к примеру, узнать скорость машины по ее перемещению с течением времени. Этого нам достаточно, чтобы двигаться дальше.
Интегралы
Согласно парадигме Лапласа, можно определить будущее положение объекта по его текущему положению и скорости, а также по данным о других влияющих на него объектах. Зная, какие силы воздействуют на объект, мы можем использовать второй закон Ньютона (2.1) и вычислить ускорение. Скорость определяет изменение положения с течением времени, а ускорение — изменение скорости. Собрав эти сведения воедино, мы можем построить траекторию движения объекта, то есть увидеть, как будут изменяться его положение и скорость.
Вернемся к примеру с машиной, которая движется по прямой с постоянной скоростью. Однако теперь мы рассмотрим график скорости, а не положения (допустим, что мы не знаем его). Это довольно легко, ведь скорость не изменяется.
Когда объект движется с постоянной скоростью v, пройденное им расстояние x равно произведению скорости на время движения: x = vDt. Несложно представить это геометрически: расстояние будет равно площади прямоугольника между прямыми 0 и Dt по горизонтали и 0 и v по вертикали. То есть накопленное значение какой-то величины представляет собой площадь под графиком ее функции.
![]()
Теперь возьмем более общий пример, в котором скорость не постоянна. Когда мы говорили о производных, мы увеличили масштаб настолько, что кривая стала казаться прямой. Применим эту же тактику и здесь: аппроксимируем площадь под графиком v(t). Для этого возьмем небольшой промежуток Dt и вычислим площадь прямоугольника от t = 0 до t = Dt (то есть v(0) ⋅ Dt), затем прямоугольника от t = Dt до t = 2Dt и т. д. Сложив все эти площади, мы получим величину, примерно равную площади под кривой. Для этой операции — сложения большого количества величин — используется специальное обозначение: S, то есть заглавная греческая буква сигма.
![]()
(2.10)
Волнистый знак равенства означает «приблизительно равно».
![]()
Чем меньше будет промежуток Dt, тем тоньше получатся прямоугольники (и тем больше их будет). При этом фигура, которую они составляют, будет все ближе и ближе к области под кривой. Поэтому, как и в случае с производными, в пределе Dt становится бесконечно малой величиной, которую мы обозначим dt. Если заменить символ суммы Σ на другой, напоминающий фигурную букву S, мы получим интеграл скорости по времени, то есть пройденное расстояние:
![]()
(2.11)
Аналогичным образом, вычислив интеграл ускорения, можно определить изменение скорости:
![]()
(2.12)
Это выражение не совсем точно: для простоты в нем отсутствуют сведения о начальном и конечном моментах времени, то есть о промежутке, в течение которого мы наблюдаем за изменением положения или скорости. Полный вариант формулы можно найти в приложении A.
Если производные — это способ осмыслить деление нуля на ноль, то интегралы — аналогичный способ понять умножение на ноль бесконечности (мы ищем сумму площадей бесконечно большого числа прямоугольников нулевой площади). Эти действия (которые математики называют матемическим анализом) можно выполнить довольно точно, хоть и не все ученые с этим согласны. Не удивительно, что в «Началах» Ньютон не стал активно использовать дифференциальное исчисление, которое было в те времена было новинкой. К счастью, для задач физики оно подходит как нельзя лучше.
Зная, какие силы действуют на объект, мы можем определить его ускорение по закону Ньютона — формуле F = ma. Далее, интегрируя ускорение, мы получаем скорость, а интегрируя скорость — пройденный путь. Таким образом, парадигма Лапласа верна: зная исходное положение и скорость, мы можем построить всю траекторию движения объекта.
Интегрирование и дифференцирование представляют собой противоположные операции над функциями. Взяв производную исходной функции, мы получаем новую функцию, а взяв от нее интеграл, — снова исходную. Таким образом производная отменяет интеграл и наоборот.
![]()
(2.13)
То же самое в обозначениях:
![]()
(2.14)
На практике брать производные относительно просто, интегралы — намного сложнее. Даже лучшие физики часто прибегают к численным методам и вычисляют нужные значения при помощи компьютеров.
Однако нам не придется подробно знакомиться с тем, как брать интегралы и производные (некоторые примеры можно найти в приложении A). Для нас важны не конкретные формулы, а сами эти понятия. Запомним одно простое правило: интеграл от бесконечно малой величины равен конечной величине:
![]()
(2.15)
Это означает, что суммарное количество x, накопленное за промежуток времени, есть изменение x от начала процесса до его завершения. При этом за х может быть принято что угодно: расстояние в космосе, промежуток времени, любая физическая величина, которую мы рассматриваем.
Непрерывность и бесконечность
Со времени Ньютона было открыто немало законов фундаментальных физических систем. Джеймс Клерк Максвелл предложил серию формул для электричества и магнетизма, Альберт Эйнштейн — уравнение кривизны пространства-времени, а Эрвин Шрёдингер — волновой функции квантово-механической системы… Все эти формулы объединяет одно: это дифференциальные уравнения, неизвестными в которых являются функции (временные или пространственные), которые описывают различные явления. По этой причине дифференциальное исчисление занимает в физике центральное место.
Но справедливо ли это? Не зная окончательных формулировок законов физики, мы должны быть открыты для любых предположений. Одно из них состоит в том, что парадигма Лапласа неверна, то есть фундаментальные законы глобальны, а не локальны, то есть не начинаются с какого-то состояния в какой-то момент времени. Следовательно, отталкиваясь от такого состояния, мы не можем судить и о будущих либо прошлых.
Другое предположение — время не непрерывно, то есть имеется некий минимальный промежуток времени, а Вселенная развивается ступенчато, с этим промежутком. Один из плюсов такого подхода в том, что непрерывность (и сестра ее бесконечность) всегда была для людей — математиков и философов — чем-то загадочным, тем, что нельзя увидеть в реальном мире. Однако идея о том, что время дискретно перечеркнет все открытия классической механики и теории относительности, заставит пересмотреть большую часть наших знаний о мире. И хоть, возможно, в конечном итоге так и придется сделать, разумно не слишком спешить со столь радикальными переменами.
