на бумаге — перечислите возможные пути, измерите их длину и найдете кратчайший. Но вскоре вы можете обнаружить, что
кратчайший и
быстрейший пути — это не одно и то же: иногда по более длинной автостраде вы доедете гораздо быстрее, чем по короткой проселочной дороге. Чтобы найти самый быстрый путь, вы должны каждый из возможных путей разбить на сегменты длиной A
d и в каждом сегменте оценить скорость
v, с которой вы можете преодолеть этот сегмент. Время, за которое вы преодолеваете данный сегмент, равно ∆
t = ∆d/
v, а суммируя время по всем сегментам, вы получаете общее время, которое затрачивается при движении по этому пути. Сравнивая времена, относящиеся ко всем возможным путям, вы находите самый быстрый.
Задача нахождения легчайшего пути при спуске с горы немного другая. Ваша цель — не побыстрее спуститься с горы, а затратить при этом как можно меньше усилий. Сложность состоит в том, что после того как вы спуститесь с определенной высоты, вам придется преодолеть горизонтальный участок (чтобы попасть к выходу реки на равнину). Вы можете выбрать пологие участки, по которым спускаться тяжелее, но которые зато покрывают большую часть пути, а можете выбрать крутые участки, где спускаться хотя и легче, но высота теряется слишком быстро. Мы можем написать выражение для усилия в виде:
(усилие) = (потеря высоты) × (сложность спуска).
Здесь сложность определяется тем, с каким напряжением вам придется спуститься с данной высоты. И мы знаем, что сложность тем больше, чем более плоска на данном участке тропа.
Мы, как и в случае сложения интервалов времени при движении между двумя точками пространства, должны суммировать усилия при спуске от начальной точки до конечной, разделив весь путь на маленькие отрезки. Затем для каждого такого маленького отрезка мы умножим потерю высоты на этом отрезке на сложность его преодоления и в результате найдем усилие, затраченное на спуск на этом сегменте пути. Суммируя все эти небольшие усилия, мы получим полное усилие, затраченное на весь спуск с горы.
Процедура расчета проста: и для вычисления времени, затраченного на путь, и для вычисления усилий, затраченных на спуск, мы должны сначала разделить весь путь на сегменты, затем умножить каждый интервал на некую величину — назовем ее, скажем, L, и наконец просуммировать все произведения. Величина L может зависеть от различных особенностей пути, например, от скорости или от того, насколько тяжело приходится работать, спускаясь со склона с заданной крутизной. Нахождение оптимального пути сводится к тому, чтобы просуммировать L по каждому пути, получить для него значение суммы — назовем ее S, — а затем выбрать путь с минимальным S. И этим способом находится как путь с минимальным временем, так и путь с минимальным затраченным усилием.
Это похоже на решаемую нами проблему, а значит, нужно рассмотреть все возможные пути, ведущие вниз с горы, разбить каждый из них на сегменты, найти крутизну каждого сегмента, определить, насколько сложно будет тащить повозку по склону с данной крутизной (имея в виду, что крутизна не может быть ниже критической величины, так как при меньшей крутизне повозка двигаться не будет), умножить сложность преодоления этого участка на его высоту и просуммировать результаты по всем сегментам. Повторить эту процедуру для всех троп и в конце концов найти ту, для которой суммарное усилие окажется наименьшим.
Что-то слишком уж трудоемко, правда? И как же вы поступите на практике? Разумеется, не так — следовать правилам слишком сложно. Вместо этого вы скорее всего выберете путь с разумным перепадом высоты при разумной длине пути — то есть самую подходящую тропу. Для начала вы хорошенько осмотритесь, наметите еще сверху, с перевала, соответствующее направление — так, чтобы не застрять где-то, а затем справитесь со спуском и вдобавок получите удовольствие от окружающего пейзажа.
И разве не удивительно, что, спустившись по выбранной тропе, вы обнаружите, что выбрали в точности самый простой из всех возможных путей, ни разу не сделав неправильного поворота?
И это как раз то самое, что делают физические частицы! Через 150 лет после Галилея Джозеф Луи Лагранж вывел замечательную систему уравнений, в которых лагранжиан (мы ввели обозначение L не случайно) связывается с силой, действующей на частицу, перемещающуюся в пространстве-времени между двумя событиями. Эти уравнения позволяют нам взглянуть на ту же физику, то есть на законы, которые определяют то, как объекты перемещаются в пространстве и времени, с двух разных, но эквивалентных точек зрения.
С одной точки зрения (с которой мы уже познакомились), объект в каждый момент подвергается действию силы, принуждающей его изменить скорость определенным образом. Действие этой силы во времени определяет траекторию частицы.
С другой точки зрения, данный путь в целом «отбирается» природой из всех возможных путей, поскольку на нем достигается минимум или максимум (экстремум) суммарной величины L. Этот метод, у которого есть и другие приложения, часто называют принципом наименьшего действия (хотя, как мы вскоре увидим, это название слегка сбивает с толку, поскольку иногда это на самом деле принцип наибольшего действия). Данный метод и метод сил и скоростей приводят в точности к одним и тем же результатам. Замечательно!
Но как быть с частицей, на которую не действует никакая сила? Мы вместе с Галилеем видели, что она должна двигаться по прямой, а это значит, что ее скорость не должна меняться. Но мы также можем идентифицировать прямой путь как путь, при котором расстояние в пространстве минимально. Для расчета пространственного расстояния мы разбиваем путь на маленькие кусочки и суммируем их физические длины. В этом смысле, если не приложены силы, суммарный лагранжиан L есть просто физическое расстояние.
Мы с вами можем предпринять еще кое-что. Для Галилея говорить только о пространстве — это нормально. Но если мы хотим следовать Эйнштейну, то должны рассматривать пространство и время совместно. Вспомним: обсуждая БАШНЮ, мы поняли, что объект, на который не действуют силы, движется по прямой в пространстве-времени. Можем ли мы определить эту траекторию с помощью минимизации (максимизации) какой-либо величины? Да, но с осторожностью — эта величина должна иметь физический смысл и быть однозначно определенной, а не чем-то вроде проходимого в пространстве расстояния или затраченного на него времени. Действительно в коане «ВЕНЕЦИАНСКИЕ СНЫ» мы видели, что и то, и другое — величины относительные, то есть зависящие от системы отсчета.
Предположим, что к нашему объекту, движущемуся в пространстве-времени, приделаны часы; если же это человек, то у него есть внутренние часы — сердце (будем называть отсчитанное им время
