собственным временем). Поскольку между двумя событиями в пространстве-времени объект движется по некоторому пути, часы должны зафиксировать количество прошедших между событиями секунд. Обозначим эту величину ∆
T. Эта величина — факт безусловный, оспорить ее не могут даже те, кто находится в других системах отсчета, с другими ощущениями одновременности и пройденных расстояний в этих системах. Однако существует
соотношение между ∆
T и этими зависящими от системы отсчета расстояниями и длительностями. Эйнштейн (и Герман Минковский) показал, что для маленьких отрезков пути время ∆
T, зарегистрированное внутренними часами объекта, можно выразить через пространственное расстояние ∆
d и временной интервал ∆
t в других системах, — почти так же, как в коане «ИДЕАЛЬНАЯ КАРТА» мы смогли рассчитать пространственное расстояние ∆
d по расстояниям в направлении запад-восток и север-юг. Но здесь есть два ключевых отличия. Во-первых, мы должны превратить ∆
d во временной интервал, разделив его на скорость света
с. Во-вторых, мы должны этот найденный временной интервал не складывать с временным интервалом
At, а
вычитать из него. В результате получаем
(∆T)2 = (∆t)2 — (∆d/с)2.
Что замечательно в этом соотношении, так это то, что оно справедливо для всех систем отсчета, независимо от того, в какой из них вычисляется ∆t и ∆d. (В действительности мы можем взглянуть на это с другой точки зрения: это уравнение в каком-то смысле определяет соотношение между инерциальными системами отсчета в специальной теории относительности Эйнштейна.) Эта величина теперь может играть роль лагранжиана L или пространственного расстояния d: разделим путь, по которому может двигаться частица, на сегменты, вычислим ΔT на каждом сегменте, потом сложим их и получим T, отвечающее всему пути. Посмотрим на этот подход на примере трех различных путей в пространстве-времени (рис. ниже).
Три траектории в пространстве-времени с одним и тем же временем начала и окончания движения.
Первый — левый путь — прямой. Второй состоит из двух отрезков прямых, и посередине, в точке их пересечения, меняется скорость. Временная протяженность обоих путей одинакова и равна Δt, но в первом случае нет пройденного пространственного расстояния Δd, которое нужно было бы вычитать. Таким образом, собственное время ΔT, которое отсчитали наши наручные часы, больше для первого пути, чем для второго. Аналогично, для третьего пути, когда объект движется взад-вперед, время ΔT меньше, чем для первого пути.
Вывод очевиден: любое изменение направления движения ведет к уменьшению времени, отмеряемого внутренними часами, поэтому прямой путь — это путь с максимальным временем по нашим наручным часам.
Просуммируем сказанное: путь частицы через пространство-время можно определить путем нахождения максимума сумм S величин L вдоль каждого пути. Эта величина L включает в себя и время ∆Т, измеряемое внутренними часами, и другие составляющие, связанные с приложенными силами.
Все это хорошо, но если серьезно подумать, здесь кроется загадка, а именно: частица подчиняется силам, которые она ощущает в данный конкретный момент, и движется с некоей скоростью, которую она имеет в данный момент. Но при этом частица полностью уверена, что в течение следующего года пройдет путь, который по прошествии этого года в ретроспективе окажется путем с наибольшим действием S, отобранным из всех возможных путей, которыми она могла пройти в течение этого года. По пути она могла провзаимодействовать с разными объектами весьма сложным образом. Но в конце путь окажется в точности таким, каким нужно. Как это может быть?
Вы сделаны из частиц. Вы и составляющие вас частицы прямо сейчас выбирают направление движения. Оглянувшись назад, сможете ли вы вспомнить, какой путь вы всегда выбирали?
9. Прыжок с обрыва
(Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)
Ты мирно сидишь, читаешь книгу и наслаждаешься закатом в горах, как вдруг в поле твоего зрения появляется Трипа Драгпа. Ты поднимаешь глаза и видишь, как просвечивающее через копну его волос солнце образует фантастическое гало вокруг его головы.
«Брось книгу подальше, — приказывает он. — Брось ее! Ответь, полетит ли она по прямой? Если скажешь да, ты на правильном пути, но тебе придется выколоть глаза. Если же скажешь нет, тебе придется прыгнуть с обрыва».
Так как она полетит?
Я сидел в кресле в патентном бюро в Берне, и в этот момент мне пришла в голову неожиданная мысль: «Если человек находится в свободном падении, он не чувствует своего веса». Я был потрясен.
Эйнштейн[28]
Если бросить предмет, его траектория окажется искривленной (нужно быть слепым, чтобы не заметить этого), поскольку гравитация тянет предмет к земле. Эйнштейн описал мысль, которая его осенила, когда он сидел в кресле в патентном бюро, как «самую счастливую в жизни», поскольку в конце концов она привела ученого к пониманию того, что траектория, которая выглядит искривленной, должна считаться прямолинейной.
Представьте себе, что вы прыгаете с обрыва, держа в руках эту самую книгу. Поскольку все это происходит лишь в воображении, вам не нужно волноваться по поводу того, что случится, когда вы долетите до дна. Вы также можете при падении пренебречь сопротивлением воздуха и считать, что гравитация — это единственное, что на вас действует. Лучше всего просто расслабиться, насладиться свободным падением и провести эксперимент с книгой. Бросайте ее. Что можно сказать о траектории книги, вспоминая об экспериментах Галилея в Пизе? Будет она криволинейной или прямолинейной?
Давайте проанализируем. Согласно изысканиям Галилея (сейчас точно подтвержденным экспериментально), и вы, и книга, и все остальное ускоряется Землей одинаково. Когда вы бросаете книгу (или воображаете, что делаете это) и она летит по воздуху, ее траектория искривляется, поскольку в каждый следующий момент времени притяжение Земли увеличивает вертикальную составляющую ее скорости. А вот в экспериментах Галилея, о которых мы рассказывали раньше, прямолинейное движение в пространстве характеризовалось постоянной скоростью.
Если, однако, вы собираетесь бросить книгу во время падения, для вас ее траектория будет выглядеть иначе. В этом случае, как и раньше, вертикальная составляющая скорости книги будет постоянно возрастать из-за гравитации, но то же самое будет происходить и с вашей скоростью. Таким образом, скорость книги относительно вас будет оставаться постоянной, и траектория книги будет вам казаться прямолинейной, в точности как если бы гравитации не существовало вообще. Представьте себе, что и вы, и книга помещены в некий воображаемый ящик, падающий вместе с вами. В этом случае вам казалось бы, что книга уплывает от вас с постоянной скоростью (рис. ниже)[29].
Для наблюдателя, который смотрит на эту картину с
