§ 4. Устойчивость атомов
Раз заряды не могут иметь устойчивого положения, то, разумеется, неправильно представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов), управляемых только законами электростатики. Такая статическая конфигурация немыслима, она обвалится!
Фиг. 5.3. Томсоновская модель атома.
1 — однородно распределенный положительный заряд; 2 — отрицательный заряд, сконцентрированный в центре.
В свое время предлагалось считать положительный заряд атома распределенным однородно по шару, а отрицательные заряды (электроны) покоящимися внутри положительного заряда (фиг. 5.3). Это была первая атомная модель, предложенная Томсоном. Но Резерфорд из опыта, проделанного Гейгером и Марсденом, сделал вывод, что положительные заряды очень сильно сконцентрированы и образуют то, что мы называем ядром. И статическую модель Томсона пришлось отставить. Затем Резерфорд и Бор предположили, что равновесие может быть динамическим — электроны обращаются по орбитам (фиг. 5.4). Орбитальное движение в этом случае удерживало бы электроны от падения на ядро. Но мы с вами знакомы, по крайней мере, с одной трудностью, возникающей и при таком представлении об атоме. При движении по орбитам электроны ускоряются (из-за вращательного движения), и поэтому они излучали бы энергию. При этом они потеряют кинетическую энергию, необходимую для того, чтобы остаться на орбитах, и они должны будут падать, двигаясь по спирали, на ядро. Опять неустойчивость!
Сейчас стабильность атома объясняется с помощью квантовой механики. Электростатические силы притягивают электрон к ядру насколько это возможно, но электрон вынужден оставаться размазанным в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. Если бы он держался в очень узком пространстве близ ядра, у него была бы большая неопределенность в импульсе. Но это означало бы, что его ожидаемая энергия высока и может быть использована для того, чтобы разорвать электрическое притяжение ядра.
Фиг. 5.4. Модель атома Резерфорда—Бора.
1 — положительные ядра в центре;
2 — отрицательные электроны на планетных орбитах.
Выходит, что в итоге электрическое равновесие не слишком отличается от идеи Томсона, но только на этот раз размазан отрицательный заряд (потому что масса электрона несравненно меньше массы протона).
§ 5. Поле заряженной прямой линии
Закон Гаусса может быть применен для решения множества задач, связанных с электрическим полем, обладающим специальной симметрией (чаще всего сферической, цилиндрической или плоской). В оставшейся части этой главы мы займемся применением закона Гаусса к некоторым задачам подобного рода. Легкость, с которой будут решаться эти задачи, может создать ошибочное впечатление о мощи метода и о возможности с его помощью перейти к решению многих других задач. К сожалению, это не так. Список задач, легко решаемых по закону Гаусса, быстро исчерпывается. В дальнейших главах мы разовьем куда более мощные методы исследования электростатических полей.
В качестве первого примера рассмотрим систему с цилиндрической симметрией. Пусть у нас имеется длинная-длинная равномерно заряженная спица. Под этим мы понимаем электрические заряды, равномерно распределенные по длине бесконечно длинной прямой, так что на единицу длины приходится заряд l,. Мы хотим определить электрическое поле. Конечно, задачу можно решить интегрированием вкладов в поле от всех частей прямой. Но мы собираемся решить ее без интегрирования, только с помощью закона Гаусса и некоторых догадок. Во-первых, легко догадаться, что электрическое поле будет направлено по радиусу. Любой осевой составляющей от зарядов, лежащих с одной стороны от некоторой плоскости, должна отвечать такая же осевая составляющая от зарядов, лежащих с другой стороны. В итоге должно остаться только радиальное поле. Кроме того, резонно полагать, что во всех точках, равноотстоящих от прямой, поле имеет одинаковую величину. Это очевидно.
Фиг. 5.5. Цилиндрическая гауссова поверхность, коаксиальная заряженной прямой.
1 — гауссова поверхность; 2 — заряженная прямая.
(Может быть, это нелегко доказать, но это верно, если пространство симметрично, а мы считаем, что это так.) Применить закон Гаусса можно следующим образом. Вообразим себе поверхность, имеющую форму цилиндра, ось которого совпадает с нашей прямой (фиг. 5.5). Согласно закону Гаусса, весь поток Е из этой поверхности равен заряду внутри нее, деленному на e0. Раз поле считается нормальным к поверхности, то его нормальная составляющая — это величина вектора поля. Обозначим ее Е. Пусть радиус цилиндра будет r, а длина его для удобства выбрана равной единице. Поток сквозь цилиндрическую поверхность равен произведению Е на площадь поверхности, т. е. на 2pr. Поток через торцы равен нулю, потому что поле касательно к ним. Весь заряд внутри нашей поверхности равен как раз l, потому что длина оси цилиндра равна единице. Тогда закон Гаусса дает
(5.2)
Электрическое поле заряженной прямой обратно пропорционально первой степени расстояния от прямой.
§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен а. Сразу приходит в голову следующее соображение: из симметрии следует, что поле направлено всюду поперек плоскости, и если не существует поля от всех прочих зарядов в мире, то поля по обе стороны плоскости должны совпадать (по величине). На этот раз за гауссову поверхность мы примем прямоугольный ящик, пересекающий нашу плоскость (фиг. 5.6). Каждая из граней, параллельных плоскости, имеет площадь А. Поле нормально к этим двум граням и параллельно остальным четырем. Суммарный поток равен Е, умноженному на площадь первой грани, плюс Е, умноженному на площадь противоположной грани; от остальных граней никаких слагаемых
не войдет. Заряд внутри ящика равен sА. Уравнивая поток с зарядом, напишем
откуда
(5.3)
Простой, но важный результат.
Фиг. 5.6. Электрическое поле возле однородно заряженной плоскости, найденное с помощью теоремы Гаусса, применяемой к воображаемому ящику.
1 — однородно заряженная плоскость;
2 — гауссова поверхность.
Вы помните, может быть, что тот же результат был получен в первых главах интегрированием по всей плоскости. Закон Гаусса дает ответ намного быстрее (хотя он не так широко применим, как прежний метод).
Подчеркнем, что этот результат относится только к полю,
созданному зарядами, размещенными на плоскости. Если по соседству есть другие заряды, общее поле близ плоскости было бы суммой (5.3) и поля прочих зарядов. Закон Гаусса тогда только гарантировал бы, что
(5.4)
где E1и Е2 — поля, направленные на каждой стороне плоскости наружу от нее.
Задача о двух параллельных плоскостях с равными и противоположными плотностями зарядов +s и -sрешается тоже просто, если только снова предположить, что внешний мир абсолютно симметричен. Составите ли вы суперпозицию двух решений для отдельных плоскостей или построите гауссов ящик, охватывающий обе плоскости, в обоих случаях легко видеть, что поле снаружи плоскостей равно нулю (фиг. 5.7, а). Но, заключив в ящик только одну или только другую поверхность, как показано на фиг. 5.7, б или в, мы легко обнаружим, что поле между плоскостями должно быть вдвое больше поля отдельной плоскости.
Фиг. 5.7. Поле между двумя заряженными листами равно s/e0.
Итог таков:
(5.5)
Е (снаружи) =0. (5.6)
§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера
В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например, может быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются, они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти однородно.
