равен нулю, так как там Е = 0. Так что мы бы имели
Но криволинейный интеграл от Е по любому замкнутому контуру в электростатическом поле всегда равен нулю. Значит, внутри пустой полости не может быть никаких полей, равно как не может быть никаких зарядов на внутренней поверхности.
Заметьте, что мы все время подчеркивали, что полость пуста. Если поместить какие-то заряды в фиксированных местах полости (скажем, на изоляторе или на небольшом проводнике, изолированном от основного), то внутри полости могут быть поля. Но тогда она уже не будет «пустой».
Мы показали, что если полость целиком окружена проводником, то никакое статическое распределение зарядов снаружи никогда не создаст поля внутри. Это объясняет принцип «защиты» электрического оборудования, которое помещается в металлическую коробку. К тем же рассуждениям можно прибегнуть, если нужно показать, что никакое статическое распределение зарядов внутри замкнутого сплошного проводника не может создать поля вне его. Защита действует в обе стороны! В электростатике (но не в изменяющихся полях) поля по обе стороны сплошной проводящей оболочки полностью не зависят одно от другого.
Теперь вы понимаете, почему удалось проверить закон Кулона с такой точностью. Форма полой оболочки не имела значения. Она вовсе не должна была быть круглой, она могла быть и кубом! Если закон Гаусса точен, то поле внутри всегда равно нулю. Вы понимаете теперь, почему вполне безопасно сидеть внутри высоковольтного генератора Ван-де-Граафа в миллион вольт, не боясь, что вас ударит ток, — Вас охраняет сам Гаусс!
Глава 6
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
§1.Уравнения электростатического потенциала
§2.Электрический диполь
§3.3амечания о векторных уравнениях
§4.Дипольный потенциал как градиент
§5.Дипольное приближение для произвольного распределения
§6.Поля заряженных проводников
§7. Метод изображений
§8.Точечный заряд у проводящей плоскости
§9.Точечный заряд у проводящей сферы
§10.Конденеаторы; параллельные пластины
§11.Пробой при высоком напряжении
§12.Ионный микроскоп
Повторить: гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»
§ 1. Уравнения электростатического потенциала
В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математическими методами, используемыми для определения поля.
Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:
(6.1)
(6.2)
Фактически оба эти уравнения можно объединить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться градиентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):
(6.3)
Электрическое поле каждого частного вида можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля j. Дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять j, получится, если (6.3) подставить в (6.1):
(6.4)
Расходимость градиента j—это то же, что С2, действующее на j:
(6.5)
так что уравнение (6.4) мы запишем в виде
(6.6)
Оператор С2 называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с математической точки зрения заключается просто в изучении решений одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете j, поле Е немедленно получается из (6.3).
Обратимся сперва к особому классу задач, в которых r задано как функция х, у, z. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если r в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен
(6.7)
где r(2) — плотность заряда, dV2 — элемент объема в точке (2), а r12 — расстояние между точками (1) и (2). Решение дифференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:
и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.
Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех зарядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.
§ 2. Электрический диполь
Сначала возьмем два точечных заряда +q и -q, разделенных промежутком d. Проведем ось z через заряды, а начало координат поместим посредине между ними (фиг. 6.1). Тогда по формуле (4.24) потенциал системы двух зарядов дается выражением
Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при желании можем это сделать, раз мы знаем потенциал. Так что задача двух зарядов решена.
Существует важный частный случай этой задачи, когда заряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас интересует поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с ними промежуток между зарядами кажется незначительным. Такую тесную пару зарядов называют диполем. Диполи встречаются очень часто.
Фиг. 6.1. Диполь: два заряда +q и -q, удаленные друг от друга на расстояние d.
«Дипольную» антенну можно часто приближенно рассматривать как два заряда, разделенные небольшим расстоянием (если нас не интересует поле у самой антенны). (Обычно интерес представляют антенны с движущимися зарядами; уравнения статики тогда неприменимы, но для некоторых целей они все же представляют весьма сносное приближение.)
Важнее, пожалуй, диполи атомные. Если в каком-то веществе есть электрическое поле, то электроны и протоны испытывают влияние противоположных сил и смещаются друг относительно друга. Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращается в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разойтись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смещаются. Так что хотя атом (или молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение положительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем. Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, большими по сравнению с промежутками между зарядами.
В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды несколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В молекуле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2). Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение заряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на одной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь. Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувствительно к мелким деталям расположения.
Фиг. 6.2. Молекула воды Н2O.
Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние d между которыми мало. Если d станет нулем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сократятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив слагаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени d, мы напишем
Удобно обозначить
Тогда
и
Разлагая в биномиальный ряд [1 — (zd/r2)]-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем
Подобно этому,
Вычитая эти два члена, имеем для потенциала
(6.9)
Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния между зарядами.
