Вторым недостающим элементом были правила дефляции-инфляции – процедуры для разделения двух ромбов в замощении Пенроуза на более мелкие части.
Мы с Джошем предполагали, что альтернативный набор строительных блоков, обладающий всеми тремя свойствами – правилами совмещения (замками), амманновскими плоскостями и правилами дефляции-инфляции, – может раскрыть секрет того, каким образом реальные атомы в жидкости соединяются при образовании квазикристалла. Плоскости Амманна и правила дефляции-инфляции могли служить объяснением того, как атомы, начав с какого-то случайного образования, организуются в четком квазипериодическом порядке, а правила замков, которые разработали мы с Довом, могли помочь в объяснении того, каким образом атомы остаются зафиксированными в этой конфигурации.
Рассуждение состояло в следующем: если строительные блоки можно рассматривать как располагающиеся вдоль плоскостей Амманна, разделенных квазипериодическими интервалами, то можно представить жидкость, переходящую при затвердевании в квазикристалл, начиная с небольшой зародышевой группы атомов, к которой новые атомы будут присоединяться по одному слою за раз. Каждый такой слой соответствовал бы одной амманновской плоскости.
Такой послойный рост был бы аналогичен принципу роста многих периодических кристаллов, поэтому логично было предположить, что нечто подобное происходит и в случае квазикристаллов.
Трехмерные правила дефляции-инфляции наводили на мысль о еще одном механизме роста квазикристаллов. Сначала атомы в жидкости могут образовывать множество мельчайших кластеров, затем эти кластеры могут соединяться в более крупные кластеры, потом из них могут формироваться еще более крупные кластеры, и так далее. Эта иерархическая кластеризация небольших фрагментов, ведущая к образованию более крупных, соответствовала бы тому, как мелкие плитки объединяются в более крупные согласно правилам дефляции-инфляции.
Мы также рассматривали возможность, что некоторые квазикристаллы могут формироваться путем комбинации послойного и иерархического роста.
У широких и узких ромбоэдров, которые мы с Довом делали из картонных разверток, были правила совмещения, но не было ничего подобного плоскостям Амманна или правилам дефляции-инфляции. Перед нами с Джошем стояла задача найти другой набор строительных блоков, обладающий всеми тремя свойствами. Для достижения этой цели в сложном случае трехмерной икосаэдрической симметрии требовались значительные математические усилия, сравнимые с теми, что приложил Пенроуз, создавая свои двумерные схемы. Но при успехе мы показали бы, что рост квазикристаллов в жидкости может быть таким же простым и естественным, как рост обычных кристаллов.
Но действительно ли существуют строительные блоки, обладающие всеми тремя свойствами?
Мы с Джошем задались целью ответить на этот вопрос. Вскоре после выхода первой статьи по квазикристаллам в конце 1984 года мы начали активно работать над новым математическим подходом к генерации квазикристаллов, основываясь на уроках, полученных при изучении мозаик Пенроуза.
В нашем подходе причудливым образом сочетались алгебраические выкладки, требующие лишь карандаша и бумаги, и трехмерные физические геометрические конструкции. Алгебраические уравнения требовалось решать, чтобы предсказывать точные положения амманновских плоскостей в трех измерениях, – этим занимался я. Джош затем смотрел, где эти плоскости пересекаются, и применял наш обобщенный мультисеточный метод, чтобы определять формы строительных блоков и то, как через них проходят амманновские плоскости.
То, что физически мы работали в двух разных местах, дополнительно усложняло наш проект. Джош находился в Пенсильванском университете в Филадельфии, а я все еще был в научном отпуске, на время которого стал приглашенным сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. До изобретения “Скайпа” оставалось еще около двадцати лет. Так что общаться мы с Джошем могли только по телефону, что исключало обмен изображениями.
Я звонил Джошу и описывал, что говорят мои алгебраические выкладки относительно расположения амманновских плоскостей. Затем он описывал мне строительные блоки, соответствующие моим вычислениям. Джошу удавалось объединять наши разрозненные идеи и конструировать поистине замечательные физические модели из листов прозрачного цветного пластика, которые и сегодня украшают полку в моем кабинете. Увидев несколько недель спустя эти модели, я был поражен тем, как идеально наши вычисления сошлись друг с другом. Мы подали совместную статью в журнал Physical Review B в сентябре 1985 года. Не оставалось сомнений, что мы решили проблему.
Теперь мы знали, что существуют строительные блоки с икосаэдрической симметрией, обладающие правилами совмещения, амманновскими плоскостями и правилами дефляции-инфляции. У них были все свойства двумерных плиток Пенроуза, но только с более сложной симметрией. Наша работа имела прямое отношение к объяснению реально существующих квазикристаллов с икосаэдрической симметрией.
Мы с Джошем наконец нашли производственную компанию, которая смогла изготовить четыре типа строительных блоков, изобретенных нами для решения проблемы. У этих пластиковых блоков были специально сконструированные соединения, как у кубиков лего, которые вынуждали соблюдать все наши правила совмещения.
Одной из фигур был все тот же широкий ромбоэдр, который использовали мы с Довом. Это белые блоки на иллюстрации справа (см. также иллюстрацию на обложке). Три другие фигуры отличались от всего, что мы с Довом изучали прежде. У них сложные греческие названия, основанные на числе граней, являющихся ромбами одинаковых размеров и формы. На самом деле эти названия не так уж важны, но для тех, кому нравится практиковаться в греческом языке, я приведу их в порядке увеличения размера: ромбододекаэдр (двенадцать ромбических граней), ромбоикосаэдр (двадцать ромбических граней) и ромботриаконтаэдр (тридцать ромбических граней).
Должен признаться, мне очень понравились изготовленные блоки. Они не только иллюстрировали то, как новые строительные блоки соединяются друг с другом, но также демонстрировали большой шаг вперед по сравнению с поделочными экспериментами, которые мы с Довом проводили сначала с пенопластовыми шариками и каркасной проволокой, а потом с картонными развертками и магнитами.
На иллюстрации справа в середине показаны несколько слоев, где видно, как эти четыре типа трехмерных фигур соединяются друг с другом.
Наши математические достижения придали мне гораздо больше уверенности в том, что нам более не встретится теоретических препятствий, мешающих перенести концепцию квазикристаллов из абстрактного мира двумерных мозаик Пенроуза в мир реального трехмерного вещества.
Наша конструкция появилась вовремя, поскольку к весне 1985 года открытие квазикристаллов породило новое поле интенсивных исследований. Сообщения о новых экспериментах, новых потенциально квазикристаллических сплавах и новых теоретических идеях от различных групп по всему миру появлялись практически каждую неделю. Ажиотаж привел к непрерывной череде конференций, семинаров, приглашенных докладов, включая выступление в Калтехе, которое привело к столь ценной для меня встрече с Ричардом Фейнманом.
И как раз в этот период Дэн Шехтман пригласил меня приехать в Израиль, чтобы посетить его лабораторию в Технионе. Мы встречались ранее на конференции, но тогда времени хватило лишь на короткий разговор. Визит в Хайфу стал для нас первой возможностью потратить существенное количество времени на обмен идеями.
Дэн оказался гостеприимным хозяином. Он гордился своей работой и своей страной. Он показал мне лабораторию и свежие данные исследований, а затем устроил мне поездку по всему хайфскому региону вплоть до Голанских высот.
Я восхищался смелостью и независимостью мысли, которые привели
