происходить и с атомами, которые один за другим присоединяются к растущему кластеру при формировании квазикристалла: в ходе роста будет появляться так много дефектов, что окажется практически невозможно образовать что-то, хотя бы напоминающее квазикристалл. Скептики пришли к выводу, что во всех практических смыслах идеальный квазикристалл – это недостижимое состояние вещества.
Это был по-настоящему тяжелый момент в нашей квазикристаллической истории. Обе проблемы казались непреодолимыми. Лучшие эксперименты с Al6Mn проводились с быстро охлажденными образцами, которые всегда давали на рентгеновской дифракционной картине размытые пятна вместо предсказываемых нами четких точек. А теперь еще появился сильный теоретический аргумент в пользу того, что квазикристаллы – недостижимое на практике состояние вещества.
Дискуссию удалось разрешить благодаря двум прорывам. Один был теоретическим, другой – экспериментальным.
Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк, 1987 год
Теоретический прорыв был связан с открытием альтернативы пенроузовским замкам – так называемых правил роста. Они позволяли добавлять плитки к мозаике по одной безо всяких ошибок и без образования дефектов. К установлению правил роста меня подтолкнул очередной визит в Исследовательский центр IBM имени Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк. На этот раз меня пригласили туда на лето для продолжения исследований по квазикристаллам.
Однажды в период моей работы в Центре исследователь по имени Джордж Онода пригласил меня и еще одного коллегу – Дэвида Дивинченцо – на ланч. Он хотел обсудить новую идею о том, как избежать дефектов в мозаиках Пенроуза. Джорджа я знал несколько лет. Мы встречались во время моего первого научного отпуска в IBM в 1984 году, примерно тогда же, когда вышла наша первая с Довом статья по квазикристаллам. А с Дэвидом я познакомился, когда он еще был аспирантом в Пенсильванском университете.
Когда мы уселись за стол, Джордж объяснил, что он знаком с проблемой частых дефектов, возникающих при следовании правилам совмещения Пенроуза, но, поработав над этим вопросом, обнаружил, что можно выработать дополнительные правила, которые гарантируют снижение частоты возникновения дефектов. Идея звучала интригующе. Так что, быстро покончив с ланчем, мы перебрались для дальнейшего обсуждения за большой круглый кофейный стол. Джордж вытащил коробку, полную бумажных пенроузовских плиток, и начал демонстрировать свои новые правила.
Без сомнения, правила Джорджа были шагом вперед. Мы все равно в итоге зашли в тупик и получили зазор, который невозможно было заполнить, но прежде мы смогли сложить друг с другом более двух десятков плиток. Поняв, как работают новые правила Джорджа, мы заметили, что можно добавить еще одно правило, которое делает процесс еще лучше. А добавив его, мы обнаружили еще одно, ведущее к дальнейшим улучшениям. На протяжении следующих двух часов каждый из нас поочередно добавлял новые правила, пока мы вдруг не обнаружили, что можем покрыть весь стол плитками Джорджа без единой ошибки и без добавления новых правил.
Со стороны было, наверно, странно видеть троих ученых, склонившихся над столом и пытающихся собрать самодельный бумажный пазл. Но если кому-то и было до нас дело, мы этого не заметили. Чем больше времени мы тратили на проект, тем более захватывающим он становился. Никто из нас не ожидал найти правила, позволяющие соединить так много плиток Пенроуза без единого дефекта.
К сожалению, для этого нам понадобился длинный список туманных на первый взгляд правил вроде: “Если возникла конфигурация, похожая на такую-то и такую-то, то добавьте вот к этому ее краю широкую плитку”. Однако в дальнейшем, внимательно изучив этот список, я заметил, что его можно компактно переформулировать в терминах добавления плиток в местах, называемых открытыми вершинами.
Вершина замощения – это любая точка, где сходятся углы нескольких плиток. Открытая вершина – это такая, в которой остается клинообразное пространство для добавления новых плиток.
Весь наш длинный список новых правил удалось упаковать в одно-единственное предложение: “Добавлять плитку к вершине замощения можно только в случае наличия единственного варианта, ведущего к образованию правильной новой вершины, допустимой в идеальном пенроузовском замощении; в противном случае следует переходить к другой вершине”.
Может ли такое простое правило в самом деле работать? Математическое доказательство его эффективности оказалось непростым и потребовало нескольких месяцев работы. Я вновь привлек к делу Джоша Соколара, который на тот момент уже считался мирового уровня экспертом по замощениям. Прошло несколько лет с того времени, когда мы вдвоем впервые выдвинули свои соображения о том, как могут формироваться квазикристаллы. Тогда мы опирались на замки, реализующие правила совмещения, линии Амманна и правила дефляции-инфляции. Теперь же, при помощи изощренного сочетания компьютерных программ и математических рассуждений, построенных Джошем, мы смогли продемонстрировать, что все эти три свойства были принципиальны для доказательства того, что новое правило для вершин работает безотказно при небольшой технической оговорке: первоначальный зародыш кластера из плиток включает конфигурацию, которую специалисты по мозаикам Пенроуза называют декаподом.
Наши новые правила роста кардинально отличались от исходных правил совмещения Пенроуза. Его правила предписывают, как две плитки должны соединяться краями. Правила роста диктуют, как группы плиток должны соединяться вокруг вершин. Однако, как и правила совмещения, правила роста могли бы выполняться в результате реальных взаимодействий атомов, в которых связывающие их силы простираются не дальше, чем на несколько длин межатомных связей.
Правила роста оказались полной неожиданностью для научного сообщества. В числе наиболее изумленных ими был и сам Роджер Пенроуз. Мы с Роджером познакомились в 1985 году, когда я пригласил его в Пенсильванский университет на встречу с обеими моими теоретическими группами и коллегами-экспериментаторами, работавшими над квазикристаллами. Я с удовольствием демонстрировал ему все наши исследования, вдохновленные его замечательным открытием. Роджер был образцом скромности и обходительности. Со своим звенящим британским акцентом он деликатно задавал нам сотни вопросов и щедро делился собственными идеями. У нас быстро установились прекрасные отношения, которые продолжаются по сей день, поскольку нас объединяет интерес как к квазикристаллам, так и к космологии.
Однако в 1987 году Роджер все еще был убежден, что правы скептики. Из-за проблем, которые возникают в процессе конструирования мозаик Пенроуза, он считал невозможным, чтобы атомы с обычными межатомными силами формировали высококачественные квазикристаллы. Но уже через несколько лет он изменил свое мнение. В 1996 году Роджеру исполнилось шестьдесят пять, и меня пригласили в Оксфордский университет отметить праздник и отдать должное многочисленным важным достижениям ученого. Это мероприятие дало мне возможность показать Роджеру математическое доказательство наших правил роста. На память я подарил ему редкий набор наших трехмерных строительных блоков (см. иллюстрацию на странице 113, а также на обложке), который он с благодарностью принял.
Прошло еще почти три десятилетия, прежде чем мы смогли завершить доказательство правил роста для случая трех измерений. Хотя тут работают те же принципы, что и для двумерных плиток Пенроуза, получить доказательство оказалось намного сложнее.
