Как раздражает нас иногда невозможность получить ответ немедленно, приглашение прийти «завтра». Но здесь не дают готовых ответов (это мы уже поняли), дети сами их находят. Тем более взрослым следует самим разобраться, понять, куда и зачем ведут их детей. И когда мы приходим через месяц-другой, становится очевидным направление пути.
На доске и в тетради уже нет кружек, яблок, машин. Их сменили буквы и линии-отрезки. Дети сами пришли к необходимости облегчить себе работу, сами предложили обозначить размеры и признаки предметов буквами. И если сначала они учились неравные предметы превращать в равные, и наоборот, так сказать, собственными руками: с помощью переливания из одной кружки в другую, то сейчас они просто пишут: А+В=С.
Первая формула их практической работы, обобщение результатов исследования реальных физических величин. В ней отображены не просто какие-то одинаковые стороны предметов, а определённые отношения – количественные. Прописными буквами они договорились обозначать целые предметы, строчными – те маленькие кусочки, которые надо к ним добавлять или отнимать.
– Прибавить кусочек, отнять кусочек…
Теперь такой разговор для них уже несерьёзен.
– От А я отнимаю В, – говорит малыш, – и получаю С.
Можно записать всё это и по-другому, графически. Например, с помощью отрезков.
А вот уже появился на доске и пресловутый алгебраический значок «икс», что означает, естественно, неизвестную величину.
– Сравните эти две величины и поставьте знак, – просит учительница. И ребёнок осознанно пишет уравнение: А+Х=В. Он уравнял величины А и В путём прибавления неизвестной величины к двум известным.
– А если их переставить местами?
– Ничего не изменится…
В чём функция икса в уравнении? Он завязывает две величины в один узел, держит их, пока разберутся, что к чему. Вот только икс не согласен всегда так их держать, а только временно, пока подберут ему достойную замену – величину, способную удерживать в равновесии всю систему.
(Мальчику Эйнштейну его дядя Якоб как-то сказал, что икс – это зверь, которого надо поймать и посадить в сумку.)
Итак, обобщённая формула – не просто формула, изображающая отношение двух величин. Это модель, которая не нуждается в том, чтобы её положили на полку памяти. С ней можно работать: узнавать основные свойства величины – обратимость, монотонность. Ребёнок анализирует отношения величин, переходит от неравенства к равенству, и наоборот. Величины – не статуэтки на пьедестале, они всё время меняются в ту или другую сторону. И чтобы их остановить, зафиксировать уровень, у ребёнка всегда есть удивительный помощник, который как бы подгоняет величины одну к другой, – уравнение.
И нам внезапно становится ясен замысел эксперимента: начать с того, чтобы показать, что между абстрактным математическим миром и конкретным миром, близким и понятным ребёнку, есть связь. Эта связь не случайна, она осмысленна, ребёнок сам её устанавливает.
Для него нет голых математических абстракций, есть необходимость отвлечения от предметного мира, не замена его, а обобщение. Понятие величины, которую ребёнок измерил, есть живая абстракция, показавшая ему, что за теорией стоит движение материальной действительности.
Эту практичность теории сразу же схватывают малыши. Теория здесь вообще поначалу не отделена от практики, точно так же, как она была вплетена в неё на заре человечества. Впрочем, до подлинной математической теории числа ещё далеко, но здесь её начало, живое, деятельное, не привнесённое извне умными учебниками, а созданное собственным умом ребёнка. Пока он не пришёл к понятию числа, не пропустил его через себя, свои чувства, не выделил его в своём сознании как закономерный объект деятельности, не обследовал его своей мыслью, нельзя идти вперёд.
Поэтому так долго, не день, не два, а месяцы занимаются дети как будто далёкими от обычной школьной математики вещами. Но они занимаются важнейшими с точки зрения формирования математического мышления делом: дети овладевают собственными действиями, с помощью которых обнаруживают параметры в вещах, имеющих характер величин (длин, объёмов, высот и т. п.).
Овладение собственным действием! Разве им нужно овладевать? Оказывается, необходимо, чтобы действие это было именно твоим, а не чужим. Вначале он осторожно пробует его совершить: а вдруг не получится. Получилось, но, может, это случайность, нужно повторить. И снова удача. Тогда стоит обследовать каждый сделанный тобой шаг, чтобы осознать весь процесс движения, чтобы ничего не пропустить, сориентироваться. Ещё проверка при полной ориентировке, и снова – да, всё правильно, можно действие взять на вооружение. Отработать его так, чтобы довести до уровня автоматизма, сначала всё быстрее «работая» с реальными предметами, а потом и с воображаемыми. И тогда в один прекрасный день твоё действие становится актом мысли, не осознаваемым в тот момент, когда оно совершается. И совершается оно как будто само собой, как будто он и родился с умением умножать, делить…
Процесс овладения собственными действиями, превращения их в действие мысли, который мы сейчас в очень упрощённом виде описали, и составляет сущность гальперинской теории планомерного формирования умственных действий, с помощью которой может быть зримо представлен процесс усвоения знаний.
На первых уроках математики как раз и формируется действие измерения величин, чтобы впоследствии можно было выйти с его помощью на понятие числа. В ходе его формирования дети находят способ выражения сравниваемых и найденных параметров между собой – ёмкий, простой и лёгкий, с помощью специальных значков, математических символов. Они приходят в самом начале своего пути к алгебраическому уравнению, минуя долгий, сложный, непонятный и запутанный мир арифметических действий (помните, задачи со знаменитыми бассейнами, из которых вода выливается уже по меньшей мере два-три века?).
И- если первокласснику задают конкретную задачу («во дворе играют 15 детей, из них 4 – в прятки, 5 – в снежки, а остальные лепят снежную бабу. Спрашивается: сколько детей лепят бабу?»), то он, решая её, овладевает сложной, но для него необходимой системой математических действий.
Он моделирует ситуацию задачи в схеме, которая выглядит примерно так:
Составление схемы – средство анализа задачи, оно организует поиск решения. Не проба, а целостное разумное действие.
От исходной модели он переходит непосредственно к схеме решения:
Впрочем, выясняется, что схему можно составить и по-другому. Например, так:
От схемы уже совсем легко перейти к уравнению: 4+5+Х=15, решив которое, ребёнок устанавливает, что снежную бабу лепили 6 детей.
Многоступенчатость решения – необходимый этап процесса постепенного сокращения действий, превращение их в мыслительные операции. И когда через некоторое время ребёнок мгновенно составляет уравнение в буквенном виде, то это не просто натасканный приём, который применяют некоторые грамотные родители, обучающие своих детей алгебре как наиболее простому способу решения конкретных задач, а осознанное умение выделить математические абстракции и оперировать с ними. Теперь можно приступать к самому главному, основному, что позволяет детям найти ключ к науке математике, – к понятию числа. Его введение подготовлено всем предшествующим обучением. У ребёнка есть понятие величины, он уже «наработался» с разными величинами, с их отношениями, изучил их свойства.
И вот в один прекрасный день перед ним ставится простая задача, которую он уже многократно решал: выбрать из деревянных планок, находящихся в коридоре, равную образцу в классной комнате. Но когда ребёнок бросается выполнять задание, учитель его неожиданно останавливает.
– Петя, я забыл тебя предупредить: по условию задачи образец с собой в коридор брать нельзя. Как быть?
Ребёнок в недоумении застывает, и точно так же недоумённо смотрит на учителя весь класс.
Дети поставлены в ситуацию, которую, оказывается, нельзя решить известными им способами прямого сравнения величин. Нужен новый неизвестный способ. Дети думают, и вот вскоре появляется догадка:
– Надо измерить чем-нибудь образец…
– Чем?
– Например, тетрадкой… А потом той же тетрадкой измерить деревянную планку в коридоре.
Хитрый приём – ввести величину-посредницу.
– Хитрецы! – говорит учитель.
Дети довольны, они нашли выход.
Так они начинают «хитрить» в процессе обучения. Но это не та хитрость, которая сродни обману других или себя самого. Это хитрость научного метода, с помощью которого обнаруживаются новые действительные связи и отношения между явлениями и предметами.
