х + yi = (а + bi)2 = а2 + 2аbi + (bi)2 = а2 — Ь2 + 2аbi.
Приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:
х = а2 — Ь2,
у = 2аЬ.
Эта формула упоминается уже в «Началах» Евклида и служит для нахождения пифагоровых троек. Ламе в своем доказательстве использовал аналогичные рассуждения. Уравнение Ферма хр + ур = zp с помощью комплексных чисел преобразуется в произведение. В этом случае множители должны содержать корни р-й степени из единицы. На множестве комплексных чисел аналогично тому, как 1 имеет два квадратных корня, +1 и —1, существует также р корней р-й степени, которые обозначаются 1, ζ, ζ2, ζ3, …, ζр-1. Используя эти корни, мы можем записать следующее:
хр + уp = (x + у)(x + ζу)(х + ζ2у)(х + ζ3у)…(х + ζр-1y) = zр.
Следовательно, первый шаг, на котором сумма преобразуется в произведение, выполним.
На следующем шаге мы рассмотрим числа вида
а0 + а1ζ + ζ2а2 + ζ3а3 + … + ζp-1ар-1
Говорят, что эти числа принадлежат круговому полю. Их можно легко складывать, вычитать и перемножать. Также можно говорить о делимости и простых числах. Казалось, что рассуждения совершенно корректны.
Ламе привел для этого случая те же рассуждения, что и для гауссовых чисел, и, таким образом, доказал теорему! Блестящий математик Жозеф Лиувилль, который внимательно слушал выступление Ламе, попросил слова и задал вопрос. Доказано ли, что разложение на множители на круговом поле единственно? Если это не так, то доказательство оказывается ошибочным. Ламе признал, что это не доказано, но был уверен, что сможет быстро заполнить пробелы в своем доказательстве. Тем не менее сделать это так и не удалось.
Идеальные решения
Несколько месяцев спустя немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер пишет письмо Лиувиллю. В нем он объясняет, что, к несчастью для Ламе, единственность разложения на множители на круговом поле в общем случае не подтверждается. Например, оно не выполняется для р = 23. Однако Куммер продолжал: «Теорему возможно доказать, введя новый тип комплексных чисел, которые я назвал идеальными комплексными числами». Идеальные числа, представленные Куммером, позволили обеспечить единственность разложения на множители и продолжить поиски доказательства.
Чтобы проиллюстрировать мысль Куммера, приведем два примера. Сначала рассмотрим следующее множество четных целых чисел:
2Z = {…, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10…}.
На этом множестве можно свободно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. На нем число 10 нельзя разложить на произведение двух четных чисел, следовательно, оно является «простым». «Простыми» также будут являться 2 и 50. Напротив, 100 можно разложить на произведение «простых» множителей двумя разными способами:
100 = 10·10 = 2·50.
Следовательно, на множестве простых чисел единственность разложения на множители не выполняется. Чтобы обеспечить это свойство, можно ввести «идеальное» число, 5, которое не принадлежит множеству четных чисел. Используя это число, мы сможем разложить на множители 10 и 50, и они перестанут быть «простыми»:
100 = 10·10 = 5·2·5·2,
100 = 2·50 = 2·2·5·5.
Оба разложения совпадают.
Во втором примере, который предложил Рихард Дедекинд в 1870 году, рассматривается множество чисел следующего вида:
На этом множестве числа 2, 3, (1 + √(5i)), (1 — √(5i)) являются простыми. Число 6 не является простым, и его можно разложить на простые множители двумя различными способами:
6 = 2·3 = (1 + √(5i))(1 — √(5i)).
Следовательно, единственность разложения на множители на этом множестве не обеспечивается. Мы сможем это обеспечить, если введем идеальные числа √2,(1 + √(5i))/√2, (1 — √(5i))/√2:
И вновь оба разложения совпадают.
Куммер интенсивно изучал это новое круговое поле и дополнял его все новыми идеальными числами. Ему удалось доказать, что для частного случая простых чисел, так называемых регулярных простых чисел, выполняются все рассуждения доказательства, значит, и последняя теорема Ферма доказана. Далее он занялся изучением регулярных простых чисел и доказал, что существует всего три нерегулярных простых числа, меньших 100: это 37, 59 и 67. Он также рассмотрел и эти случаи, доказав таким образом теорему для всех показателей степени, меньших 100.
Члены академии наук воодушевились этими успехами и решили закрыть тему: в 1850 году была снова предложена премия тому, кто окончательно докажет последнюю теорему Ферма в общем виде. Членами жюри были Огюстен Луи Коши, Жозеф Лиувилль, Габриель Ламе, Жозеф Луи Франсуа Бертран и Мишель Шаль. Прошли все сроки, и закончились все возможные отсрочки, и наконец Коши написал: «Секретариату было представлено одиннадцать записок. Но ни одна не содержит решения задачи. Тем не менее жюри отмечает, что работа под номером 2 содержит новое решение для частного случая, для которого привел доказательство сам Ферма, то есть для показателя степени, равного 4. Следовательно, несмотря на все усилия, вопрос не сдвинулся с точки, до которой дошел г-н Куммер. Тем не менее математическое сообщество с радостью встречает усилия геометров по решению этой задачи, особенно усилия господина Куммера.
Жюри считает, что академия примет достойное и уместное решение, если оставит в стороне вопрос о соревновательности и присудит медаль господину Куммеру за его потрясающие исследования целых комплексных чисел и комплексных чисел, образованных корнями единицы».
Таким образом, в 1857 году премия была присуждена Куммеру, который даже не участвовал в конкурсе! Так члены академии выразили ему глубокую признательность за его труд. Он внес масштабный вклад в науку, разработав многие идеи и концепции и создав новые обширные разделы математики: регулярные простые числа, теорию идеалов, круговые поля, классы идеалов кругового поля и многие другие.
Последняя теорема Ферма способствовала продвижению математики далеко вперед, но по-прежнему оставалась неприступной. После двухсот лет поисков баланс сил был таков. Первый случай был доказан для многих показателей степени, удовлетворявших условиям Жермен и Лежандра. Кроме этого, общий случай был доказан для четырех показателей степени n: 3, 4, 5 и 7. Но оставалось еще очень много недоказанных случаев. Последняя теорема, несмотря на все свое очарование, стала костью в горле для многих математиков.
Портрет немецкого математика Эрнста Эдуарда Куммера.
* * *
* * *
Вопрос рода
В 1908 году немецкий предприниматель и математик Пауль Вольфскель учредил приз в 100 000 немецких марок (что эквивалентно миллиону евро в наши дни) тому, кто сможет доказать теорему Ферма. Был установлен крайний срок подачи заявок, не подлежащий продлению, — 13 сентября 2007 года. Возможно, Вольфскель считал, что ста лет будет достаточно для доказательства теоремы, которой исследователи уже посвятили столько времени.
Очень многие математики прилагали огромные усилия, чтобы дополнить список показателей степени, для которых доказана теорема Ферма, как первый, так и общий случай. Иногда этого удавалось достичь за счет усовершенствования уже известных критериев или способов вычислений, в других случаях исследования велись в совершенно новых направлениях. В 1909 году Виферих доказал, что если существует решение для первого случая теоремы Ферма, то 2p-1 — 1 должно быть кратно р2. Фактически на тот момент не было известно ни одного простого числа, которое бы удовлетворяло этому условию. Лишь в 1913 году Мейснер нашел р = 1903, а в 1922 году Бигер обнаружил р = 3511. В 1910 году Мириманов дополнил результаты Вифериха и доказал, что если существует решение первого случая теоремы Ферма, то 3p-1 — 1 также должно быть кратно р2. Это позволило доказать теорему для р = 1903 и р = 3511. В 1971 году Бриллхарт, Тонашия и Вайнбергер с помощью компьютера проанализировали все простые числа до 3·109 и не обнаружили ни одного другого числа, которое бы удовлетворяло условию Вифериха. Следовательно, они доказали теорему Ферма для всех показателей, не превышающих это значение. С годами число изученных простых чисел росло, и примерно к 1990 году первый случай теоремы Ферма был доказан для всех показателей, меньших 2327·1019.
