* * *
Вернемся к эллиптическим уравнениям. Какие решения может иметь одно из таких уравнений, например, по модулю 2? Их может быть не более 4, а именно:
х = 0, у = 0,
х = 0, у = 1,
х = 1, у = 0,
х = 1, у = 1.
С помощью такого мощного инструмента, как модулярная арифметика, можно говорить не только об «абсолютных» решениях кубических уравнений, которые сложно обнаружить, но и о числе решений по каждому модулю. Так, любое эллиптическое уравнение определяется бесконечным E-рядом, где значением каждого элемента E1, Е2, Е3… является число решений этого уравнения по модулю 1, 2, 3 и так далее. Для уравнения, имеющего два решения по модулю 2, например (0; 0) и (1; 0), член этого ряда Е2 = 2.
Второй мир: модулярные функции
Модулярные формы в значительной степени являются творением Анри Пуанкаре, одного из самых выдающихся ученых всех времен, просветителя и философа науки. Так, некоторые его работы по математической физике непосредственно предшествовали теории относительности Эйнштейна. Пуанкаре был последним математиком, который обладал глубокими знаниями во всех разделах математики своего времени.
Сейчас это невозможно, так как современная математика охватывает слишком большое количество областей. Пуанкаре, который уже в юном возрасте стал известным математиком, обладал, подобно Эйлеру и Гауссу, фотографической и великолепной пространственной памятью. Возможно, это объясняет его успехи в созданной им дисциплине, топологии, которая изучает пространственные свойства объектов, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. Топология — царство, где правит симметрия, и очень немногие математические объекты обладают столь обширной симметрией, как модулярные формы.
Французская марка, посвященная Жюлю Анри Пуанкаре.
* * *
ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ
Хотя ни одной из теорем не удалось стать такой же известной, как великая теорема Ферма, в математике существует несколько гипотез, доказательство каждой из которых становится настоящим историческим событием. Среди них — гипотеза Гольдбаха и «первая среди равных» гипотеза Римана, которые относятся к теории чисел, а также задача о равенстве классов Р и NP — ключевая задача вычислений. В топологии такой важной задачей является так называемая гипотеза Пуанкаре. К удивлению многих, в 2002–2003 годах российский математик Григорий Перельман опубликовал схему доказательства этой гипотезы, которое затем было дополнено другими учеными и в 2006 году было официально признано верным. Перельман, блестящий и в такой же степени экстравагантный математик, отказался от присужденной ему в том же году Филдсовской премии и, ссылаясь на то, что научный мир погряз в нечестности, спустя некоторое время полностью оставил математику. Как и для остальных задач, включенных Институтом Клэя в 1999 году в список семи задач тысячелетия, доказательство гипотезы Пуанкаре было оценено в один миллион долларов. В 2010 году Перельман отказался от этого вознаграждения.
Филдсовская медаль, от которой отказался Перельман, была присуждена ему за доказательство гипотезы Пуанкаре.
* * *
Получить какое-то визуальное представление модулярной формы невозможно. Достаточно сказать, что она находится в четырехмерном пространстве, которое подчиняется законам геометрии, мало похожим на привычные нам. В повседневной жизни нам известно, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, о чем писал еще Евклид. Однако начиная с XIX века известно, что это утверждение не является необходимым и продиктовано лишь соображениями удобства. Можно определить альтернативную геометрию, в которой параллельных прямых не существует вовсе либо, напротив, через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В последнем случае речь идет о так называемой гиперболической геометрии, в которой плоскость, представленная в двух измерениях, принимает следующие формы:
Параллельные линии в гиперболической геометрии.
В своеобразном мире гиперболической геометрии, где обитают модулярные формы, они обладают удивительными свойствами симметрии, подобно редчайшим цветам. Для определения модулярных форм математики используют так называемые бесконечные М-ряды, каждому из элементов которых соответствует число, означающее количество «ингредиента» 1, 2, 3, … модулярной формы.
Связующее звено: гипотеза Таниямы — Симуры
В середине 1950-х годов Япония все еще пыталась оправиться от последствий Второй мировой войны. Экономика страны понемногу восстанавливалась, но жизнь по-прежнему была непростой. От недостатка средств пострадали и университеты. Оплачиваемых должностей научных сотрудников было немного, и за них разворачивалась жесткая конкуренция. Если сфера интересов исследователя была слабо связана с практикой, то ситуация становилась еще сложнее. Трудности, которые предстояло преодолеть тем, кто хотел заниматься чистой математикой, могли охладить пыл даже самых настойчивых кандидатов.
Этих трудностей не испугался молодой Ютака Танияма, восьмой ребенок в семье провинциального врача. Из-за враждебности окружающих и проблем со здоровьем ему пришлось в юном возрасте переехать в столицу без средств к существованию, чтобы поступить в университет и продолжить занятия математикой. В 1954 году он подружился с выдающимся коллегой, Горо Симурой, который был на год старше. Друзья часто встречались в дешевых кафе, чтобы обсудить вопросы теории чисел — наиболее привлекательной области для них обоих. Сложно было подобрать более разных по характеру людей: Танияма был очень рассеян, работал урывками, по ночам, и настолько не интересовался чем-либо помимо математики, что его считали эксцентричным. Симура вставал очень рано и начинал работать на рассвете, был организованным и педантичным. В отличие от своего друга, который постоянно носил один и тот же серый костюм и никогда не завязывал шнурков, Симура следил за внешним видом и свободно общался с другими коллегами.
Друзей объединял интерес к последним открытиям на международной математической арене, и в 1955 году они решили организовать симпозиум по теории чисел и пригласить авторитетных математиков со всего мира. Из 36 задач, представленных вниманию участников симпозиума, четыре предложил Танияма. В них очень смутно описывалась связь между модулярными формами, которые на тот момент не привлекали большого внимания специалистов, и диофантовыми уравнениями. Танияма заметил, что члены E-ряда для некоторых эллиптических уравнений точно соответствуют членам М-ряда для определенных модулярных форм, но не мог объяснить фундаментальных причин этого любопытного совпадения.
На симпозиуме обсуждались эти и другие вопросы. По некоторым источникам, блестящий французский математик Андре Вейль в неформальной беседе с Таниямой подсказал ему, что он обнаружил глубокую общую взаимосвязь между модулярными формами и эллиптическими уравнениями. Позднее было показано, что в действительности все было не совсем так. Однако ошибочная трактовка событий настолько укоренилась, что гипотезу Таниямы — Симуры стали называть гипотезой Симуры — Вейля или Таниямы — Симуры — Вейля. Эту ошибку лишь много лет спустя устранил американский математик Серж Ланг, который восстановил истинное положение вещей.
Как бы то ни было, первое предположение Таниямы, высказанное в очень расплывчатой форме, не вызвало большого интереса. Единственным, кто изначально считал эту догадку очень важной, был верный друг Таниямы Симура. Много лет друзья вместе работали над этой гипотезой, стремясь точнее сформулировать ее.
В 1957 году Симуру пригласили работать в Принстон. Он считал, что там сможет обменяться опытом с уважаемыми специалистами и продолжить работу над темой, но трагические события помешали реализации этого амбициозного проекта. 17 ноября того же года Танияма решил покончить с собой. В предсмертной записке он написал: «До вчерашнего дня у меня не было цели покончить с собой. <…> Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее. <…> Во всяком случае, я не могу отрицать, что это будет предательством с моей стороны, но прошу простить меня за это последнее осознанное действие, которое я совершаю в своей жизни». Ему было 35 лет.
