Излишне говорить о том, что все три дня я провел в напряженных размышлениях. Ежедневно, прежде чем заснуть, я подолгу обдумывал проблему в надежде увидеть во сне какую-то подсказку, которая бы помогла ее решить или хотя бы направила поиски решения по правильному пути. Но все было напрасно. Днем я пытался выстроить в логической последовательности все известные мне факты, но каждый раз заходил в тупик: логика была бессильна найти ответ на столь «нелогичный» вопрос. Погруженный в свои размышления, я забыл обо всем на свете. Перед моим мысленным взором мелькали разнообразнейшие треугольники: большие и маленькие, правильные и неправильные, тупоугольные и остроугольные. Каждый из них я обходил по периметру, измерял все углы и принимался за следующий.
Мои близкие, не желая мне мешать, и не пытались пробудить меня от грез наяву. Но порой мне случалось ловить на себе их удивленные взгляды. Я не слышал, когда ко мне обращались, и в ответ неизменно задавал один и тот же сакраментальный вопрос: «Не могли бы вы указать треугольник, у которого сумма углов больше 180°?»
На утро третьего дня (того самого, на который у меня была назначена встреча с моим другом Пункто) ко мне в кабинет заглянул мой внук.
— Дедушка, — сказал он, — не знаю, смогу ли я помочь тебе, но вчера ты все время спрашивал о треугольнике, сумма углов которого больше 180°.
— Да, — подтвердил я, — и мне хорошо известно, о чем ты сейчас думаешь. Ты, естественно, считаешь, что твой старый дедушка выжил из ума. Я и сам прекрасно знаю, что мой вопрос звучит бессмысленно, но это, поверь мне, далеко не так. Я пытаюсь найти ответ на один вопрос и не знаю толком, математический он или философский, а для того чтобы найти ответ, мне необходимо своим глазом увидеть треугольник, у которого сумма углов была бы больше 180°.
— Дедушка, — воскликнул мой внук, — я прекрасно понимаю, что какой бы обычный треугольник мы ни взяли, сумма его углов не будет отличаться от суммы углов любого другого обычного треугольника. Треугольник, который нужен тебе, должен быть необычным треугольником, ибо лишь у необычного треугольника может быть необычное свойство. Если ты разрешишь, я нарисую один такой треугольник.
Хотя я не возлагал особых надежд на помощь со стороны представителя младшего поколения, тем не менее мой утвердительный ответ на его просьбу был продиктован не только любовью к внуку, но и любопытством: мне не терпелось узнать, что за необычный треугольник выдумал мой внук. Мальчик был очень польщен, увидев, что дед проявляет к его открытию искренний интерес, и тотчас же принялся рисовать «необычную» фигуру.
— Дедушка, вот треугольник, у которого сумма углов больше двух прямых углов.
Треугольник, нарисованный моим внуком. Сумма углов такого треугольника больше 180°.
— Да, но у твоего треугольника стороны не прямые, — возразил я.
— В этом и заключается мое открытие, — заявил юный геометр. — Нужно же было придумать нечто необычное для того, чтобы ответить на необычный вопрос.
— Что касается необычности, то тут мы квиты, — вынужден был признать я. — Но должен тебе сказать, что до сих пор мне никогда не приходилось видеть треугольники с кривыми сторонами.
— А ты в этом уверен? — спросил мальчуган.
Услышав вопрос внука, я даже рассердился. Мне ли не быть уверенным! Производя измерения на местности, мы даже не проводили стороны треугольников, а провешивали с помощью измерительных приборов прямые, вдоль которых свет распространялся от одного наблюдательного пункта к другому, а свет, как известно, распространяется вдоль прямых. На этом все и основано!
Разумеется, я не стал выказывать признаков недовольства, ибо меня очень обрадовало, что мой внук изъявил желание помочь мне. И хотя его «необычный треугольник» не позволил мне продвинуться ни на шаг дальше, он все же отвлек меня от безрадостных мыслей, от безнадежно запутанных рассуждений, в которых я беспомощно блуждал по замкнутому кругу, не видя выхода. Вечером придет мой друг. Мы обсудим с ним загадочную проблему, к которой я по-прежнему не знаю, как подступиться. Может быть, ему удалось придумать нечто новое?
19. НЕОБЫЧНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Мои надежды на то, что господину Пункто удалось набрести на какую-нибудь удачную идею, оказались напрасными. По его словам, он все три дня провел в размышлениях над проблемой, но, насколько я понял из его объяснений, во всем, что касалось поиска решения, всецело положился на меня. Доктор Пункто считал, что я, внук знаменитого Квадрата, должен обладать незаурядными способностями и уметь решать самые необычные проблемы, в особенности те, перед которыми бессильна традиционная геометрия. Хотя столь высокое мнение о моих способностях не могло не польстить мне, я все же был несколько раздосадован тем, что доктор Пункто занимался проблемой, если можно так выразиться, «не в полную силу». Я высказал ему свое недовольство, но он со смехом упрекнул меня в том же, и мне не оставалось ничего другого, как признать, что не имею ни малейшего представления, в каком направлении надлежит продолжать поиски решения. Я не мог похвастаться ни тем, что мне известен правильный подход к решению проблемы, ни даже тем, что знаю, как хотя бы немного продвинуться к цели.
— О решении говорить преждевременно, — сказал мой гость. — Пути к нему мы выясним позже. Пока же нам требуются самые необычные идеи, которые позволят построить треугольники со свойствами, отличными от привычных нам свойств треугольников. В построении таких треугольников — один из возможных шагов на пути к решению интересующей нас проблемы. Если бы мне удалось придумать такую фигуру, что ее хотя бы с известной натяжкой можно было назвать треугольником и сумма ее углов при этом была бы больше 180°, то я считал бы выход из тупика, в котором мы находимся, найденным. Однако, как я ни старался, мне так и не удалось придумать фигуру, обладающую нужными, свойствами.
— Да, — вынужден был признать я, — ваша точка зрения вполне приемлема. Но коль скоро все упирается в построение «треугольника» с нужными свойствами, то у меня для вас кое-что есть.
С этими словами я предъявил доктору Пункто треугольник с изогнутыми сторонами, который нарисовал мне мой внук.
Пункто внимательно выслушал меня, тщательно осмотрел треугольник с криволинейными сторонами и… не засмеялся! После длительного молчания он произнес:
— Может быть, это первый шаг к решению. Сумма углов данного треугольника действительно больше 180°. В этом смысле задача решена. Вопрос лишь в том, допустимо ли рассматривать треугольники с изогнутыми сторонами.
— Разумеется, недопустимо, — заметил я несколько раздраженно. — Ведь если я не ошибаюсь, свет распространяется вдоль прямых.
— Вы совершенно нравы, — невозмутимо ответил Пункто. — Найдено решение лишь частичной проблемы, по оно может оказаться ложным.
Мы еще долго, на протяжении нескольких часов, обсуждали проблему, но безрезультатно. Прощаясь со мной, доктор Пункто сказал:
— Попробуем кратко сформулировать, как нам представляется положение вещей в данный момент. Из наблюдений нам известно, что сумма углов треугольников, измеренных на местности, не равна 180°, а больше 180°, причем невязка возрастает с увеличением размеров треугольника. У треугольников больших размеров она больше, чем у треугольников меньших размеров. Это во-первых. Во-вторых, можно предполагать, причем без особой уверенности, что подобная невязка встречается у треугольников, стороны которых не прямолинейны.
— Таков печальный итог наших размышлений, — подтвердил я.
— Итог не окончательный, — оптимистически заметил доктор Пункто.
— Что нам делать дальше? — спросил я. — Снова три дня предаваться размышлениям в ожидании, что кому-нибудь из нас придет в голову еще одна удачная идея? Окажется ли она удачнее первой?
— Да, такая перспектива не слишком привлекательна, — согласился доктор Пункто. — По-видимому, нам лучше поговорить с другими людьми и посмотреть, как они будут реагировать на идею о криволинейных треугольниках.
— Не обратиться ли за советом к моему внуку? — саркастически произнес я. — Мне кажется, что это лучший способ беспредельно раздуть тщеславие мальчишки.
— Я с большей охотой послушал бы, — сказал мой друг, — как реагируют на интересующую нас проблему ученые мужи, в особенности математики. Нельзя ли заинтересовать их? Мы располагаем фактами, требуется найти их научное объяснение.
— Или опровергнуть эти факты, — добавил я.
— Думаю, что опровергнуть их невозможно, — возразил доктор Пункто, и я не мог с ним не согласиться, поскольку результаты измерений действительно были безупречны.
Нам казалось, что лучше всего привлечь к интересующей нас проблеме внимание членов физико-математического факультета нашего университета. Я вызвался разыскать математиков и физиков, которые бы выразили готовность ознакомиться с проблемой.
