Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f . В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты
для плоского поля координаты градиента равны
Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.
Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в некоторой области W задано векторное поле посредством векторной функции а (М ) переменной точки М из W . Линия L в области W называется векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а (М ) (рис. 8 ). Если поле а (М ) — поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля — траектории частиц жидкости. Часть пространства в W , состоящая из векторных линий, называется векторной трубкой (рис. 9 ). Если обратиться к векторному полю скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторная трубка есть часть пространства, которую «заметает» при своём перемещении некоторый фиксированный объём жидкости.
Пусть АВ — некоторая гладкая линия в W , l — длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t — единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а (М ) вдоль кривой АВ называется выражение
Если b (M ) — силовое поле, то циркуляция а вдоль АВ представляет собой работу этого поля вдоль пути АВ.
Дивергенция векторного поля а (М ), имеющего в базисе i, j, k координаты Р, Q, R , определяется как сумма
и обозначается символом div а . Например, дивергенция гравитация поля, создаваемого некоторым распределением масс, равна плотности (объёмной) r (х, у, z ) этого поля, умноженной на 4p.
Вихрь (или ротор) векторного поля а (М ) представляет собой векторную характеристику «вращательной составляющей» этого поля. Вихрь поля а обозначается rot а . Если Р, Q, R — координаты а в базисе i, j, k , то
Пусть поле a есть поле скоростей потока жидкости. Поместим в данной точке потока малое колесико с лопастями и ориентируем его ось по направлению rot а в этой точке. Тогда скорость потока будет максимальной, а её значение будет равно
Градиент скалярного поля, дивергенция и вихрь векторного поля обычно называют основными дифференциальными операциями векторного анализа. Справедливы следующие формулы, связывающие эти операции:
grad (fh ) = f grad h + h grad f,
div (fa ) = (a , grad f ) + f div a ,
rot (fa ) = f rot a + [grad f, a ],
div [a , b ] = (b , rot a ) - (a , rot b ).
Векторное поле а (М ) называется потенциальным, если это поле представляет собой градиент некоторого скалярного поля f (M ). При этом поле f (M ) называется потенциалом векторного поля а . Для того чтобы поле а , координаты которого Р, Q, R имеют непрерывные частные производные, было потенциальным, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря этого поля. Если в односвязной области W задано потенциальное поле а (М ), то потенциал f (M ) этого поля может быть найден по формуле
в которой AM — любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из W с точкой М , t — единичный вектор касательной кривой AM и l — длина дуги AM, отсчитываемая от точки А.
Векторное поле а (М ) называется соленоидальным, или трубчатым, если это поле представляет собой вихрь некоторого поля b (M ). Поле b (M ) называется векторным потенциалом поля a . Для того чтобы а было соленоидальным, необходимо и достаточно обращение в нуль дивергенции этого поля. В векторном анализе важную роль играют интегральные соотношения: Остроградского формула , именуемая также основной формулой векторного анализа, и Стокса формула . Пусть V — область, граница Г которой состоит из конечного числа кусков гладких поверхностей, n — единичный вектор внешней нормали к Г . Пусть в области V задано такое векторное поле а (М ), что div а представляет собой непрерывную функцию. Тогда справедливо соотношение
называемое формулой Остроградского.
Если a — поле скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, то (a , n ) ds — объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку ds на границе Г . Поэтому правая часть формулы (1) представляет собой поток жидкости через границу Г тела V в единицу времени. Так как в рассматриваемом случае div а характеризует интенсивность источников жидкости, то формула Остроградского выражает следующий наглядный факт: поток жидкости через замкнутую поверхность Г равен количеству жидкости, порождаемой всеми источниками, расположенными внутри Г. Пусть в области W задано непрерывное и дифференцируемое векторное поле а , имеющее непрерывный вихрь rot а . Пусть Г — ориентируемая поверхность, состоящая из конечного числа кусков гладких поверхностей, n — единичный вектор нормали к Г , t — единичный вектор касательной к краю g поверхности Г , l — длина дуги g. Справедливо следующее соотношение
называемое формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физический факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Г равен циркуляции этого поля вдоль кривой g. Формула Остроградского служит источником инвариантного (независящего от выбора системы координат) определения основных операций векторного анализа. Например, из этой формулы вытекает, что
Так как выражение
представляет собой поток жидкости через Г , а
величину этого потока на единицу объёма, то определение div а с помощью соотношения (3) показывает, что div а характеризует интенсивность источника в данной точке.
Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.—М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1—2, М., 1950—52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
