величину этого потока на единицу объёма, то определение div а с помощью соотношения (3) показывает, что div а характеризует интенсивность источника в данной точке.
Лит.: Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.—М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1—2, М., 1950—52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
Рис. 6 к ст. Векторное исчисление.
Рис. 5 к ст. Векторное исчисление.
Рисунки 8, 9 к ст. Векторное исчисление.
Рисунки 1—4 к ст. Векторное исчисление.
Рис. 7 к ст. Векторное исчисление.
Векторное поле
Ве'кторное по'ле , область, в каждой точке Р которой задан вектор а (Р ). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор-функции a (Р ) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физических явлений и процессов (например, векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразные применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление ).
Лит.: Будак Б. М.. Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
Векторное произведение
Ве'кторное произведе'ние вектора а на вектор b — вектор, обозначаемый [а, b ] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b ] равна произведению длин векторов а и b на синус угла j между ними (берётся тот из двух углов между а и b , который не превосходит p ), 2) вектор [а, b ] перпендикулярен вектору а и вектору b , 3) тройка векторов а , b , [а, b ], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление ). В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (например, момент силы F, приложенной к точке М относительно точки О , есть В. п. [, F ]).
Лит.; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.
Э. Г. Позняк.
Векторное пространство
Ве'кторное простра'нство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление ). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
1) х + у = у + х (перестановочность сложения);
2) (х + у ) + z = x + (y + z ) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x ;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0 ,
5) 1 · х = х,
6) a (bx ) = (ab ) х (ассоциативность умножения);
7) (a + b ) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) a (х + у ) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение
a1 e1 + a2 e2 + … + an en (1)
называется линейной комбинацией векторов e1 , e2 ,..., en с коэффициентами a1 , a2 ,..., an . Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1 , a2 ,..., an отличен от нуля. Векторы e1 , e2 ,..., en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1 , e2 ,..., en равна нулевому вектору) векторы e1 , e2 ,..., en называется линейно независимыми.
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
В. п. называется n-мepным (или имеет «размерность n» ), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1 , e2 ,..., en , а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e1 , e2 ,..., en — базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
x = a1 e1 + a2 e2 +... + an en .
При этом числа a1 , a2, ..., an называются координатами вектора х в данном базисе.
Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1 , l 2 ,..., l n . Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(l1 , l2 , …, ln ) + (m1 , m2 , …, mn ) = (l1 + m1 , l2 + m2 , …, ln + mn );
a (l1 , l2 , …, ln ) = (al1 , al2 , …, aln ).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., en = (0, 0,..., 1).
Множество R всех многочленов a0 + a1 u + … + an un (любых степеней n ) от одного переменного с действительными коэффициентами a0 , a1 ,..., an с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u2 ,..., un (при любом n ) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное В. п.
Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1 ; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2 ,..., un .
Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' Í R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R ) и если для каждого вектора v Î r' и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1 , v2 Î R' ) вектор lv (при любом l ) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1 , v2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x1 , x2 ,... xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a1 x1 + a2 x2 + … + ap xp . В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1 . Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2 . В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x1 , x2 ,..., xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k ) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2 ,..., un ), есть (n + 1 )- мepное подпространство пространства R всех многочленов.
