Если же прямые m 1 , m 2 , m 3 , m 4 и m 1 ’, m 2 ’, m з ’, m 4 ’ проектируют одну четвёрку точек M 1 , M 2 , М з , M 4 (рис. 2 ), то (m 1 ’ m 2 ’ m з ’ m 4 ’) = (m 1 m 2 m 3 m 4 ).
Д. о. не меняется также и при любых проективных преобразованиях , т. е. является инвариантом таких преобразований, и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии . Особенно важную роль играют четвёрки точек и прямых, для которых Д. о. равно — 1. Такие четвёрки называют гармоническими (см. Гармоническое расположение . ).
Э. Г. Позняк.
Рис. 1 к ст. Двойное отношение.
Рис. 2 к ст. Двойное отношение.
Двойное подчинение
Двойно'е подчине'ние, в социалистических государствах порядок подчинённости органов государственного управления, при котором нижестоящие органы действуют под одновременным и непосредственным руководством как соответствующего местного представительного органа государственной власти (или органа управления общей компетенции), так и вышестоящего органа общей (или специальной) компетенции. Например, в СССР областное управление сельского хозяйства работает непосредственно под руководством исполкома областного Совета депутатов трудящихся и министерства сельского хозяйства соответствующей союзной республики. Двойное подчинение, писал В. И. Ленин, необходимо там, где надо учитывать действительно существующие неизбежные различия. «Земледелие в Калужской губернии не то, что в Казанской. То же относится ко всей промышленности. То же относится ко всему администрированию или управлению» (Полн.собр. соч., 5 изд., т. 45, с. 198).
Д. п. применяется на различных уровнях управления. Ст. 101 Конституции СССР устанавливает, что исполнительные органы Советов депутатов трудящихся непосредственно подотчётны как избравшему их Совету депутатов трудящихся, так и исполнительному органу вышестоящего Совета депутатов трудящихся. Согласно ст. 52 Конституции РСФСР, союзно-республиканские министерства РСФСР руководят порученными им отраслями государственного управления РСФСР, подчиняясь как Совету Министров РСФСР, так и соответствующим союзно-республиканским министерствам СССР. Аналогичные статьи содержатся и в конституциях др. союзных республик. В силу Д. п. вышестоящие органы по отношению к нижестоящим имеют право: направлять и контролировать их деятельность; избирать или назначать руководящий состав этих органов; отменять, приостанавливать и изменять правовые акты, принятые этими органами. Юридически Д. п. закрепляется обычно в положении об органе управления, находящемся в Д.п.
В. Г. Вишняков.
Двойной ряд
Двойной ряд, выражение вида
u 11 + u 12 + ... + u 1n + ...
+ u 21 + u 22 + ... + u 2n + ...
....................................
+ u m1 + u m2 + ... + umn + ...
.....................................,
составленное из элементов бесконечной матрицы ||umn || (m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Д. р. называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Д. р.) и т. д. Для Д. р. принята сокращённая запись
umn называется общим членом Д. р.
Конечные суммы
называются частичными суммами Д. р. Если существует предел
когда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Д. р. и Д. р. называются сходящимся. Теория сходимости Д. р. значительно сложнее соответствующей теории для простых рядов ; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Д. р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены.
Выражение
называется повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммы
всех внутренних рядов, а затем рассматривается ряд
составленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S, то её называют суммой Д. р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Д. р. по столбцам. Из сходимости Д. р. не вытекает, что сходятся внутренние Ряды
так что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д. р. расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S ¹ S'. Однако, если Д. р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна S . Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Д. р.
Наиболее важными классами Д. р. являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Д. р. Фурье
одним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммы
где суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n ), для которых m2 + n2 < N, и рассматривается предел этот предел называется сферической суммой Д. р. Фурье (2). Многие важные функции изображаются с помощью Д. р., например эллиптическая функция Вейерштрасса.
Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение вида
Sm, n, …, p umn … q,
составленное из членов таблицы ||umn...p ||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m , n , ..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Д. р.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.
С. Б. Стечкин.
Двойной суперфосфат
Двойно'й суперфосфа'т , концентрированное фосфорное удобрение; см. Суперфосфат .
Двойной электрический слой
Двойно'й электри'ческий сло'й, два весьма близких друг к другу слоя электрических зарядов разного знака, но с одинаковой поверхностной плотностью, возникающие на границе раздела двух фаз. Д. э. с. в целом электронейтрален. При пересечении Д. э. с. электрический потенциал изменяется скачком. Д. э. с. на поверхности металла возникает из-за того, что электроны металла несколько выходят за пределы решётки, образованной положительными ионами. Скачок потенциала в таком Д. э. с. является составной частью работы выхода электрона из металла.
Для электрохимии большое значение имеет Д. э. с. на границе раздела металл — электролит. При погружении металла в раствор, содержащий ионы этого металла, образуется специфический для границы электрод — раствор ионный Д. э. с. дополнительно к Д.э.с., существовавшему на поверхности металла до погружения, и Д. э. с., возникающему в результате ориентации полярных молекул растворителя (например, воды) у поверхности металла. Так, при погружении серебряной пластинки в раствор KNO3 , содержащий очень мало AgNO3 , ионы Ag+ переходят из металла в раствор, избыточные электроны в металле заряжают его поверхность отрицательно и притягивают из раствора ионы К+ , образующие у поверхности вторую (положительную) обкладку Д. э. с. (см. рис. ). Возникающий скачок потенциала приостанавливает дальнейший переход ионов Ag+, и наступает равновесие электрода с раствором. Если концентрация AgNO3 в растворе велика, то, наоборот, ионы Ag+ из раствора переходят в металл, его поверхность заряжается положительно и притягивает из раствора ионы NO3 Существует промежуточная концентрация ионов металла, при которой поверхность металла не заряжается; соответствующий потенциал электрода называется потенциалом нулевого заряда, или нулевой точкой. Важное понятие о нулевой точке как величине, характерной для данного электрода, введено в электрохимию советским учёным А. Н. Фрумкиным.
