В своих рассуждениях о математике Пенроуз находится под влиянием австрийского логика Курта Гёделя, который доказал, что внутри любой математической системы всегда найдется утверждение, суждение об истинности которого для нас недоступно. Мы неспособны определить, истинно это утверждение или ложно. (Об этой работе Гёделя мы поговорим позже.) Выводы Пенроуза очень глубоки и вполне соответствуют задачам настоящей книги – они говорят нам о том, что наука имеет свои ограничения. Эти ограничения проистекают из того факта, что, вероятно, не все в природе поддается математическому анализу, не все содержание математики доступно нашему разуму и сам человеческий разум не всегда и не во всем опирается на чисто физические и/или материальные идеи и не всегда ими питается.
В 1960 году лауреат Нобелевской премии по физике, специалист по квантовой механике Юджин Вигнер, работавший в Принстонском университете, написал известную статью о таинственной и необъяснимой природе связи математики с физикой и другими естественными науками. Сам Вигнер внес большой вклад в физику, используя сложный и изощренный математический аппарат. В частности, вместе с Германом Вейлем он стал первопроходцем в применении абстрактной математической теории групп для моделирования физических явлений. Теория групп – это отрасль математики, занимающаяся симметрией, а симметрия, как показали Вигнер и Вейль, помогает раскрывать тайны физической реальности.
Симметрия, в частности, позволила другому американскому нобелевскому лауреату Стивену Вайнбергу предсказать существование одной частицы и массы покоя двух других частиц: так называемых Z– и W-бозонов, которые играют важную роль в радиоактивном распаде ядер. Представляется поразительным сам факт того, что чисто математическая теория групп смогла точно предсказывать физические явления. Природа связи между математической теорией групп и физикой была установлена немецким математиком еврейского происхождения Эмми Нётер, которая приехала в Америку накануне Второй мировой войны, спасаясь от нацизма. Она доказала две важнейшие теоремы, установившие связь между математической симметрией групп и важнейшими физическими законами сохранения (например, законом сохранения энергии, который гласит, что энергию нельзя ни создать, ни уничтожить).
В своей статье, вышедшей в 1960 году, он поражался таинственной связи между математикой и естественными науками. Вигнер рассказывает историю о двух друзьях детства, встретившихся через несколько десятилетий после долгой разлуки. Один из них стал статистиком и принялся с гордостью рассказывать другу о своих достижениях. Рассказывая о кривой гауссова (иначе называемого нормальным) распределения, он показал другу, как делаются выводы о больших группах населения на основе небольших выборок. Друг, изо всех сил стараясь понять собеседника, ткнул пальцем в символ, следовавший за гауссовым интегралом. «Что это?» – спросил он. «О, это пи, – ответил статистик, – отношение длины окружности к ее диаметру». Друг был изумлен до глубины души. «Пи? Но какое отношение имеет население к длине окружности?»
Вигнер приводит эту историю, как пример непостижимой эффективности математики в тех случаях, когда некоторые ее закономерности (например, константа, определяющая длину окружности), по видимости, не имеют отношения к изучаемому явлению. Тем не менее эта связь есть! Мало того, гауссова кривая примечательна и в других отношениях: мы до сих пор не знаем, как интегрировать эту функцию (мы можем интегрировать ее лишь численно, с помощью компьютера, но не в общей форме, как происходит с другими функциями). Получилось так, что эту важнейшую функцию теории вероятностей мы не можем анализировать с помощью интегрального исчисления Ньютона и Лейбница.
Теорию вероятностей применяют во многих отраслях науки, и ученым, для того чтобы по-настоящему заниматься своим делом, надо хорошо ее знать. В книге «Бог как иллюзия» Ричард Докинз дает следующее ничем не обоснованное высказывание: «Гипотеза Бога… практически исключается законами вероятности». Через несколько страниц, процитировав Гексли, Докинз пишет:
Гексли, твердо убежденный в абсолютной невозможности доказать наличие или отсутствие Бога, кажется, полностью игнорирует некоторые аспекты вероятности. Тот факт, что мы не можем ни подтвердить, ни опровергнуть существование чего бы то ни было, не означает, что наличие и отсутствие равновероятны. Не думаю, что Гексли выразил бы свое несогласие, и подозреваю, что он делает это лишь для того, чтобы, уступив одну позицию, защитить другую. Мы все время от времени так поступаем.
Непонимание современной теории вероятностей, видное из приведенной цитаты, еще раз проявилось в его суждении о книге Стивена Анвина «Простое вычисление, доказывающее конечную истину или вероятность Бога»[17]:
Анвин является по профессии риск-менеджером… Он решил начать свои рассуждения с полной неопределенности, приписав изначально существованию и несуществованию Бога вероятности, равные 50 %.
Докинз делает Гексли и Анвину выговор за то, что они дают Богу 50 % шансов на существование (в случае Гексли – для того, чтобы «уравнять вероятность существования и несуществования», что, собственно говоря, одно и то же). Докинз утверждает, что приписывание такой априорной вероятности не согласуется с теорией вероятности. Но Докинз в данном случае прибегает к некорректным аргументам.
Великий британский статистик Гарольд Джеффрис, чьи труды заложили основу некоторых разделов современной теории вероятностей и статистических выводов, опубликовал в 1939 году книгу, озаглавленную «Теория вероятности» («Theory of Probability»), в которой ввел понятие о неинформативном априорном распределении. Неинформативное распределение является единственным честным распределением в тех случаях, когда в статистических исследованиях мы не обладаем никакими предварительными знаниями. Более того, даже если такие знания и существуют, мы не должны их использовать в построении априорного распределения, если хотим добиться беспристрастности исследования.
В своей формулировке честного статистического вывода Джеффрис использует величину 1/n, где n представляет число всех допустимых возможностей. Если таких возможностей у нас две: «Бог существует» и «Бог не существует», то n = 2. Следовательно, по правилу Джеффриса, верными априорными вероятностями истинности каждого утверждения будут ½ и ½, то есть по 50 % для каждого из них (рис. 13).
Рис. 13. Статистически честное распределение вероятностей существования и несуществования Бога с использованием стандартных «неинформативных» байесовских требований к априорному знанию
Неинформативное априорное распределение является плоским и не имеет пиков, потому что пик предполагает, что существуют исходы, имеющие более высокую вероятность. Это будет показано ниже.
Неинформативное распределение вероятности используется затем в предложенной Джеффрисом процедуре вывода для того, чтобы получить непредвзятые заключения, основанные на функции правдоподобия, построенной при использовании реальных данных.
По мнению выдающихся статистиков Джорджа Бокса и Джорджа Тяо:
Неинформативная априорность не обязательно представляет собой настроение исследователя в отношении обсуждаемых параметров. Напротив, она должна выражать «непредвзятость» ума… неинформативные априорности часто используют как точку отсчета, опираясь на которую делают непредвзятые выводы, вытекающие из имеющихся данных.
Однако никто не сможет назвать Ричарда Докинза непредвзятым. Единственный способ произвести статистическую проверку существования Бога – это начать с неинформативного априорного распределения вероятностей, которое приписывает каждому состоянию («Бог существует» и «Бога не существует») равные вероятности, составляющие 50 %, а именно за это Докинз критикует Гексли и Анвина.
Докинз называет себя большим почитателем британского эволюционного биолога и генетика начала ХХ века Рональда Фишера, отца современных статистических методов. Фишер разработал сегодняшнюю теорию статистики, возделывая помидорные плантации и выясняя, какое из нескольких удобрений работает лучше.
Работы Фишера позволяют нам определять, какая из существующих гипотез лучше подкрепляется имеющимися данными, исходя из теории вероятности. Процесс такого определения основан на ключевой концепции – величине p. Величина p – это вероятность получения выявленных нами данных при условии верности нулевой гипотезы. Следовательно, низкие значения величины p говорят о высокой вероятности альтернативной (тестовой) гипотезы. Например, если мы апробируем гипотезу о том, что курение провоцирует развитие рака, используя для этого большую, случайным образом отобранную группу курящих и некурящих, и выясняем, что курение является причиной рака с величиной p, равной 0,0001. Это означает – наше заключение о том, что курение вызывает рак, неверно с вероятностью 1 на 10 000. Следовательно, наше предположение в высшей степени вероятно. С другой стороны, величина p = 0,1 является очень слабым подтверждением справедливости исходной гипотезы, так как означает, что шанс ошибиться составляет 1 к 10, а 10 % считают показателем большой вероятности ошибки.
