Иногда математика говорит, что некоторые вещи нельзя знать наверняка. В теории хаоса мы видим, как в очень простых физических системах возникает хаотичное поведение элементов, которое не является случайным. Возьмем для примера двойной маятник, сделанный из двух металлических шариков, связанных нитью с точкой вращения на середине расстояния между шариками. Такая система позволяет шарам двигаться независимо друг от друга, их колебания становятся непредсказуемыми, полностью хаотичными.
Хаос – это крайняя форма свойства, которое мы называем нелинейностью. Линейные переменные растут медленно, подчиняясь уравнению прямой линии. Нелинейные переменные растут намного быстрее и поэтому с большим трудом поддаются ограничениям. Можно сказать, что они ведут себя менее сдержанно. Например, если курс акций изменяется пропорционально третьей степени некой экономической переменной, то это означает, что увеличение переменной вдвое повлечет за собой повышение курса акций в восемь раз (так как два в третьей степени равно восьми). Это – пример нелинейности.
Турбулентность является процессом в высшей степени нелинейным. Ураганы показывают, как быстро турбулентность может выйти из-под контроля. Буря обычно начинается линейно, движение воздуха ускоряется медленно, возникает область низкого давления, которая медленно перемещается над океаном. По непонятным пока причинам движение это набирает силу, потоки воздуха приобретают турбулентный характер, поведение масс воздуха становится нелинейным, и начинается ураган, подпитывающий сам себя. Скорость ветра нарастает, как и его энергия, и он сметает все на своем пути. В том, что касается турбулентности, вода ведет себя так же, как воздух. Океанические течения, водовороты и другие гидрологические явления очень часто бывают в высшей степени нелинейными. Сила волн тоже может нарастать неожиданно и непредсказуемо. Небольшие изменения какой-то одной переменной могут породить волну или течение намного большей величины. Механизмы обратной связи делают процесс еще более неконтролируемым, непредсказуемым и разрушительным.
Нелинейные математические системы хорошо известны своей изменчивостью. Например, для того, чтобы понять, как будет колебаться двойной маятник, нам надо знать начальные условия его движения с недостижимой для нас точностью. Почему? Потому что хаотичная система очень сильно зависит от начальных условий. Если движение маятника начинается в какой-то точно определенной точке (причем для нас не важно, что именно мы выбираем в качестве этой исходной точки), например на высоте 18,5 сантиметров, то маятник будет колебаться по определенной траектории, зависящей от начальной высоты подъема маятника. Но если в следующем опыте вы поднимете тот же маятник на высоту 18,50000000000000000000001 сантиметра, отличающуюся от предыдущей высоты на очень малую в выбранном масштабе измерений величину, колебания маятника станут совершенно другими. Можно математически доказать, что каждый раз, когда хаотическая система приходит в движение с разных исходных точек, даже очень близких друг к другу, ее поведение становится совершенно иным. Этот пример показывает реальную ограниченность наших знаний о мире.
Надо сказать, что неожиданные, непредсказуемые, хаотические процессы влияют в этом мире на все, включая и историю о том, как мы стали господствующим на Земле видом. Падение на нашу планету крупного астероида или метеорита 65 миллионов лет назад привело к вымиранию динозавров и возвышению приматов, а в конечном итоге и к эволюции человека. Метеорит и удар были разрывными, внезапными событиями, приведшими к решающим изменениям условий жизни на Земле. Уравнения, описывающие движение нашей планеты и других небесных тел Солнечной системы (если бы они были в то время известны), могли сделать эти события предсказуемыми, но они были бы не в силах предсказать их последствия. Сегодня мы знаем, что орбиты малых космических объектов в нашей Солнечной системе являются хаотическими по своей природе. Вселенная полна таких сюрпризов, бросающих вызов научной предсказуемости.
Вскоре после выхода в свет моей книги «Последняя теорема Ферма» («Fermat’s Last Theorem») мне позвонил Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии. Друзья из IBM, где тогда работал Мандельброт, сказали мне, что это была единственная книга, с которой Мандельброт не расставался во всех своих поездках. Мы договорились о встрече в маленьком ресторанчике неподалеку от моего университета. После приятного разговора о математике и о жизни я спросил Мандельброта: «Как вам пришла в голову идея фрактала?» Ответ сильно меня заинтриговал: «На эту идею меня натолкнула фондовая биржа».
Очевидно, Мандельброт следил за изменениями биржевых курсов в течение различных временных циклов: годовых, месячных, недельных, дневных, минутных и мгновенных. В результате таких наблюдений он заметил, что колебания всегда выглядели одинаково, то есть имели одинаковую геометрическую форму – зубчатый рисунок этих изменений оставался прежним, независимо от величины периода. Это натолкнуло Мандельброта на идею самовоспроизводящейся структуры: фрактала. Эти структуры тесно связаны с теорией хаоса. Если вы «живете» на фрактале, то ваша жизнь является непредсказуемой, так как переходы от одной точки поверхности фрактала к другой непредсказуемы и хаотичны.
Этим я хочу подчеркнуть, что какими бы обширными математическими знаниями мы ни обладали, какие бы точные уравнения ни составляли, всегда найдутся такие переменные величины и количества, которые мы никогда не сможем предсказать с какой бы то ни было точностью, потому что эти величины хаотичны по своей природе.
Наилучший пример – это «эффект бабочки», идея которого была разработана математиком и метеорологом из Массачусетского технологического института Эдвардом Лоренцем. Это гипотетический эффект, произведенный взмахом крыльев бабочки в Китае. Взмах непредсказуемо вызывает ураган, обрушившийся на Восточное побережье США. Это теория хаоса в действии: крошечное возмущение величины давления воздуха в одном месте, ничтожное по своим начальным параметрам в сравнении с системой (Землей и погодой на ней), может вызвать гигантские, неожиданные изменения в другом, удаленном месте земного шара.
Теория хаоса демонстрирует ограниченность нашего знания: не важно, насколько точно человек понимает природные и физические системы, так как всегда найдутся вещи, которые мы будем неспособны ни понять, ни предсказать. Мне думается, что теория хаоса указывает на большую и неизбежную лакуну в науке, не оставляющую нам иного выбора, кроме признания ограниченности человеческих знаний и возможностей объяснения механизмов Вселенной. Существует большое разнообразие ситуаций и обстоятельств, в которых системы становятся внутренне хаотичными или почти хаотичными. Очевидно, что человек часто не в состоянии предсказать штормы, землетрясения, цунами и другие природные явления. В каких-то случаях исследователи смотрят на все это с точки зрения теории катастроф, а иногда рассматривают как характеристически нелинейные события, в которых теория хаоса помогает объяснить их непредсказуемость.
Крах фондовых рынков – это тоже в высшей степени нелинейное событие, имеющее непосредственное отношение к теории хаоса. Крах 1929 года стал классическим примером такого происшествия. Резкие колебания курсов акций, наблюдавшиеся Бенуа Мандельбротом, тоже являются непредсказуемыми событиями. Небольшие изменения в локальных сегментах мировой экономики могут привести (путями, которые мы даже не в состоянии себе вообразить) к огромным сдвигам на рынках ценных бумаг и даже к обрушению всей мировой финансовой системы.
Проведя день на Уолл-стрит, все экономические гуру начинают выступать со своими объяснениями того, что произошло в тот день на бирже: «Рынок упал, потому что…» или «Рынок вырос, потому что…». Часто этот анализ выглядит полнейшей бессмыслицей, поскольку изменения были непредсказуемыми, а значит, и необъяснимыми.
Теория хаоса, теория катастроф и нелинейность учат, что некоторые события просто выходят за пределы нашего понимания. К сожалению, человеческий мозг приспособлен к линейному мышлению: в своих суждениях мы идем по пути последовательного перехода от одного пункта к другому. Мы можем прямым или гладким и плавным путем перейти из точки А в точку Б, но не способны по самой своей природе понять или предсказать неожиданную нелинейную траекторию этого перемещения. Даже наша математика, очень надежная в описании линейных и гладких траекторий, в иных случаях отказывается нам служить.
Отсутствие способности предсказывать исходы определяется не «плохой математикой». На самом деле это результат того, что очень сложные системы весьма чувствительны к начальным условиям: никто не может предсказать, как взмах крыльев бабочки изменит динамику всей системы. Это свойство нелинейных систем представляет собой огромную брешь в наших знаниях о природе и еще раз демонстрирует, что есть и всегда будут вещи, не поддающиеся удовлетворительному предсказанию. Что это говорит о нашей способности понимать природу?
