146. Защита коней. Конь – это не более чем безответственный презренный шут шахматной доски. «Это очень ненадежный, трусливый, но деморализующий негодяй, – сказал о нем один американский писатель. – Он может ходить лишь на расстояние двух клеток, однако берет качеством там, где не хватает количества, ибо он может прыгать на одну клетку вбок, подобно коту, может стоять на одной ноге посреди доски и прыгнуть на любую из восьми клеток, на какую ему заблагорассудится, может находиться по одну сторону изгороди и подло убить троих или четверых, стоящих по другую ее сторону; он обладает неприятной особенностью влезать в безопасные места, откуда он может угрожать королю, заставляя его менять позицию, а затем способен проглотить ферзя. По изворотливости конь не знает себе равных, и когда вы прогоните его через одну щель, он влезет в другую». Одна за другой предпринимались безуспешные попытки дать простое, краткое и точное определение хода коня. В действительности он проходит одну клетку как ладья, а другую как слон, причем все это происходит за один скачок, так что несущественно, занята или нет первая клетка, через которую он проходит. Практически это единственный скачкообразный ход в шахматах. Но хотя этот ход и трудно определить формально, даже ребенок постигнет его за несколько минут.
Я показал на рисунке, как можно расположить на шахматной доске 12 коней (наименьшее возможное число), чтобы при этом каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой нападения коня. Переберите по очереди все клетки, и вы обнаружите, что дело обстоит именно таким образом. Определите теперь наименьшее число коней, которое требуется, чтобы каждая клетка оказалась либо занятой, либо под ударом, а каждый конь был защищен другим конем. Как следует расставить этих коней? Можно заметить, что из 12 изображенных на рисунке коней лишь 4 защищены подобным образом.
Охраняемая шахматная доска
На обычной шахматной доске 8×8 каждую клетку можно сделать защищенной (то есть либо занятой, либо атакованной) с помощью пяти ферзей – наименьшего возможного количества. Существует ровно 91 фундаментально различное расположение, при котором ни один ферзь не атакует другого ферзя. Если каждый ферзь должен атаковать другого ферзя (или быть им защищенным), то существует по меньшей мере 41 расположение, и я нашел 150 способов, при которых некоторые ферзи атакованы, а некоторые нет, но в последнем случае очень трудно точно перечислить все решения.
На обычной шахматной доске каждую клетку можно защитить восемью ладьями (наименьшее число) 40 320 способами, если ни одна ладья не имеет права атаковать другую ладью, но не известно, сколько среди них существенно различных способов (см. выше решение задачи «Восемь ладей»). Я не пересчитал способы, при которых каждая ладья защищена другой ладьей.
На обычной шахматной доске каждую клетку можно защитить восемью слонами (наименьшее число), если ни одному слону не разрешается атаковать другого слона. Если каждый слон должен оказаться защищенным, то необходимо 10 слонов (см. выше головоломки «Незащищенные слоны» и «Защищенные слоны»).
На обычной шахматной доске каждую клетку можно защитить двенадцатью конями, если все кони, кроме четырех, не защищены. Но если каждый конь должен оказаться защищенным, то требуется 14 коней (см. выше головоломку «Защита коней»).
Если иметь дело с ферзями на досках п×п, где п меньше 8, то представляют интерес следующие результаты:
1 ферзь защищает доску 2×21 существенным способом;
1 ферзь защищает доску 3×31 существенным способом;
2 ферзя защищают доску 4×43 существенными способами (защищая друг друга);
3 ферзя защищают доску 4×42 существенными способами (не защищая друг друга);
3 ферзя защищают доску 5×5 37 существенными способами (защищая друг друга);
3 ферзя защищают доску 5×52 существенными способами (не защищая друг друга);
3 ферзя защищают доску 6×61 существенным способом (защищая друг друга);
4 ферзя защищают доску 6×6 17 существенными способами (не защищая друг друга);
4 ферзя защищают доску 7×75 существенными способами (защищая друг друга);
4 ферзя защищают доску 7×71 существенным способом (не защищая друг друга).
Расположения на шахматной доске, не находящиеся под угрозой нападения.
Мы знаем, что п ферзей можно всегда разместить на квадратной доске с п2 клетками (если п › 3), чтобы ни один ферзь при этом не атаковал другого ферзя. Однако общей формулы, позволяющей найти число всех таких размещений, еще не найдено; вероятно, ее просто не существует. Известны следующие результаты:
при п = 4 существует 1 фундаментальное решения, а всего 10 решений;
при п = 5 существует 2 фундаментальных решения, а всего 10 решений;
при п = 6 существует 1 фундаментальное решение, а всего 4 решения;
при п = 7 существует 6 фундаментальных решений, а всего 40 решений;
при п = 8 существует 12 фундаментальных решений, а всего 92 решения;
при п = 9 существует 46 фундаментальных решений;
при п = 10 существует 92 фундаментальных решения;
при п = 11 существует 341 фундаментальное решение.
Очевидно, п ладей можно разместить на доске п×п так, чтобы они не атаковали друг друга, п! способами, но вот сколько среди них существенно различных, мне удалось узнать лишь для четырех случаев, когда п равно 2, 3, 4 и 5. Ответами будут соответственно 1, 2, 7 и 23 (см. головоломку «Четыре льва»).
Мы можем разместить 2п – 2 слонов на доске п×п двумя способами (см. головоломку «Собрание слонов»). Для досок со стороной в 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 клеток существует соответственно 1, 2, 3, 6, 10, 20, 36 фундаментально различных размещений. В случае нечетного п существует 21/2(n-4) таких размещений, каждое из которых порождает с помощью поворотов и отражений по 4 других размещения, и 2 п-3 – 21/2(n-3) размещение, порождающие по 8 других размещений. В случае четного п их существует 21/2(n-2), каждое с помощью поворотов и отражений порождает по 4, и 2n-3 – 21/2(n-4), порождающих по 8 размещений.
На доске п×п мы можем разместить 1/2 (n2 + 1) коней, не атакующих друг друга, в случае нечетного п одним существенным способом, а когда п четно, то 1/2 n2 коней удается разместить также одним существенным способом. В первом случае мы всех коней размещаем на клетках того же цвета, что и центральная, а во втором случае мы их всех ставим только на черные или только на белые клетки.
Задачи с двумя фигурами
На доске с п2 клетками два ферзя, две ладьи, два слона или два коня всегда можно расположить (безотносительно к тому, атакуют ли они друг друга или нет) (n4-n2)/2 способами. Следующие формулы показывают, сколькими из способов две фигуры можно расположить при условии взаимной атаки и без нее.
(См. головоломку «Охота на льва».)
Динамические шахматные задачи
147. Турне ладьи. Единственную ладью требуется передвигать по всей доске так, чтобы она посетила каждую клетку ровно по одному разу и закончила свое турне в той клетке, с которой его начала. При этом следует сделать как можно меньшее число ходов, но если вы будете не очень внимательны, то совершите ровно на один ход больше, чем нужно.
Разумеется, клетка считается «посещенной» как в случае, если вы просто проходите через нее, так и в случае остановки в ней, Нас не должны волновать софизмы вроде того, что мы дважды посещаем исходный квадрат. Будем считать, что мы посещаем его один раз.
148. Путешествие ладьи. В названии этой головоломки я не случайно употребил слово «путешествие», поскольку слово «турне» означает возвращение в исходное место, а в данном случае мы не будем этого делать. Ладья делает 21 ход, посетив каждую клетку доски ровно по одному разу, останавливается в клетке 10 в конце десятого хода и заканчивает путешествие в клетке 21.
Два последовательных хода нельзя делать в одном и том же направлении; другими словами, вы должны поворачивать после каждого хода.
149. Еще одна томящаяся дева. Злой барон в добрые старые времена заточил одну невинную деву в глубокую темницу, которая находилась подо рвом замка. На рисунке вы видите 63 камеры темницы, которые соединены между собой открытыми дверьми, и камеру, где прикована дева. Некий доблестный рыцарь, который любил эту деву, сумел вызволить ее из рук врага. Добравшись до входа в темницу, как показано на рисунке, он затем дошел и до камеры, где томилась дева, посетив по дороге каждую камеру ровно по одному разу. Возьмите карандаш и попытайтесь обозначить его путь. Преуспев в этом, попробуйте свести этот путь к 22 прямолинейным отрезкам. Это можно сделать, по-прежнему не посетив ни одну камеру дважды.
