Этот метод приводил к числам, которые сегодня известны как числа Ферма.
Число Ферма выражается как
F0=22n + 1.
Следовательно, F0=3, F1=5, F2=17, F3=257. Все это простые числа.
Если бы Ферма просчитал немного дальше, то он бы очень быстро понял, что вовсе не все числа, полученные по этой формуле, являются простыми. F5=4294967297 уже не является простым числом, как смог показать в 1732 году швейцарский математик Леонард Эйлер. (Конечно, сложно вести расчеты с цифрами такого порядка!)
Ирония заключается в том, что один из разработанных самим Ферма способов доказать, является ли число простым, показал бы ему этот результат и продемонстрировал бы ему ложность гипотезы о том, что все числа Ферма являются простыми. Ферма выяснил, что выражение
2Р – 1 – 1
является делимым без остатка на р, если р является простым числом и а<p. (Это так называемая «малая» формула Ферма. Следовательно, 22 – 1 делится на 3, 24 – 1 делится на 5, 26 – 1 делится на 7 и т. д.) Значит, F5 не является делителем для
2FР – 1 – 1
и не является простым числом. (Пусть читатель не пытается определить характер этого числа «от руки», поскольку для этого требуются специальные методы, порой весьма трудоемкие.)
Ферма совершил здесь очень распространенную при построении гипотез ошибку (и она часто бывает очень важна!): чрезмерное обобщение. Человек находит пример 1, обладающий определенными свойствами. Затем он обнаруживает случай 2, обладающий теми же свойствами. После этого ему встречается случай 3 и случай 4, обнаруживающие все те же свойства. Человек приходит к выводу, что все мыслимые случаи этого типа проявляют соответствующие свойства.
Построение абстрактных концепций через обобщение – это важная умственная способность. Мы бы вообще не могли ориентироваться в различных аспектах нашей среды, если бы не обобщали их в классы условной эквивалентности. Если бы мы, встречаясь с каким-либо предметом, каждый раз выясняли, действительно ли это стул, поскольку он так похож на другие экземпляры, которые нам уже встречались в качестве стула, мы бы недалеко продвинулись в своих ежедневных делах. Нам нужно абстрактное понятие «стула», настолько обобщающее, чтобы мы без долгих размышлений могли оперировать как стулом даже тем объектом, который никогда прежде не видели.
Способность на основании нескольких примеров определенного типа выявлять общие особенности этих примеров и выводить из этого абстрактную концепцию очень полезна, и без нее мы бы потерялись в многообразии явлений. Нам нужны абстрактные понятия, на основании которых мы не принимаем во внимание цвет и материал обивки, материал, из которого изготовлены ножки и прочее, и прочее, и узнаем стул в изображении или предмете, исходя лишь из того, имеет ли он четыре ножки, сиденье и спинку соответствующих пропорций и находятся ли эти детали в соответствующих отношениях между собой.
Мир наших представлений не особенно красочен. Наши мысли – это бледные схемы, а само представление о чем-то столь очевидном, как роза, может быть несоизмеримо с восприятием розы в отношении ее окраски и контуров. Об этом можно сожалеть, однако это имеет определенные преимущества. Эти пустые и призрачные изображения как раз и представляют собой классы эквивалентов. По причине их схематичности мы в состоянии рассматривать различные розы как более или менее эквивалентные друг другу, как и различные лампы, карандаши и чашки.
Часто нескольких примеров бывает достаточно, чтобы снабдить нас абстрактным изображением некоего явления. Ферма хватило четырех примеров, чтобы решить, что он открыл общий метод вычисления простых чисел.
Построение классов эквивалентности через абстракцию «незначительных» особенностей и извлечение «существенных» черт настолько важно и необходимо, насколько велики, с другой стороны, опасности, которые скрываются за этим мыслительным действием. Из необходимого обобщения легко получается чрезмерное. И, как правило, нет никаких шансов доказать априори, имеет ли абстрактное понятие «правильную» степень абстрактности или же оно чрезмерно обобщено.
Один из испытуемых в эксперименте «Лоххаузен» получил положительный опыт в определенной ситуации с продвижением иностранного туризма. Строительство нескольких отелей и поощрение сдачи внаем койко-мест для приезжих привлекли в Лоххаузен туристов и в целом существенно улучшили финансовое положение города. Этот опыт поселился в голове испытуемого в форме краткого предложения: «Поощрение иностранного туризма приносит пользу!» Однако эта абстрактная формулировка концепции успеха была слишком обобщенной. Меры по поощрению туризма, принятые испытуемым, были успешны только потому, что они совпали с определенной совокупностью обстоятельств, а именно с тем, что в городе были люди, готовые заняться обслуживанем туристов, и с тем, что за пределами Лоххаузена имелся соответствующий спрос на эти услуги. Однако это стечение обстоятельств ни в коей мере не было замечено испытуемым. Напротив, он пренебрег этими особенностями сложившейся ситуации. Он заметил лишь общее правило: «если, то» – «Если я поощряю туризм, то рано или поздно в городской казне появятся деньги!».
Этот «необусловленный», то есть лишенный предпосылок, план поведения впоследствии привел действия испытуемого к краху. Поскольку позже в результате нескольких неудач испытуемый попал в трудную ситуацию, которая поставила Лоххаузен на грань банкротства, он взял все имеющиеся в наличии деньги и инвестировал их в гигантскую кампанию по продвижению туризма. Однако те предпосылки, которые однажды сделали туризм доходной статьей, больше не существовали, и деньги ушли в никуда, не принеся сколько-нибудь достойной упоминания прибыли. Английский психолог Джеймс Т. Ризон считает, что такой тип ошибок объясняется общей склонностью к «поиску соответствия», то есть склонностью реагировать скорее на сходства, чем на различия.
Конечно, приведенный пример – это крайний случай. Тем не менее подобное происходит, и поэтому нельзя назвать поведение испытуемого совсем уж необъяснимым.
В сложной системе с многочисленными внутренними взаимосвязями такие абстракции, которые приводят к «необусловленности» способов поведения, бывают опасны. Контекстуальная зависимость принимаемых мер является скорее правилом, чем исключением. Та мера, которая оказалась правильной в одной ситуации, необязательно будет верной в другой. Подобные контекстуальные зависимости означают, что существует меньше общих (то есть свободных от предпосылок) правил, на основании которых можно строить свои действия. Каждую ситуацию нужно обдумывать заново.
Рис. 26. «Лесной пожар»
На рисунке 26 схематически изображен участок шведского девственного леса. Маленькие пронумерованные ячейки представляют собой подразделения пожарных, которые могут тушить лесные пожары. Этот рисунок представляет собой ситуацию в игре-симуляции «Пожар», которую мы создали по образцу Бернда Бремера из Уппсальского университета. В этой игре «командующий пожарными бригадами» размещает пожарные подразделения таким образом, чтобы уберечь от пожаров как можно бо́льшую часть леса и деревню. Стоит засушливое лето, и лесные пожары могут в любой момент случиться где угодно. Командующий
