Две точки А и В - фокусы. Орбита планеты - эллипс. Солнце находится в одном из фокусов. Возникает другой вопрос: как движется планета по эллипсу? Идет ли она быстрее, когда находится ближе к Солнцу? Замедляет ли движение, удаляясь от него? Кеплер ответил и на этот вопрос (рис. 2). Он обнаружил, что если взять два положения планеты разделенных друг от друга определенным промежутком времени, скажем тремя неделями, потом взять другую часть орбиты и там - тоже два положения планеты разделенные тремя неделями, и провести линии (ученые называют их радиус-векторами) от Солнца к планете, то площадь заключенная между орбитой планеты и парой линий которые отделены друг от друга тремя неделями всюду одинакова, в любой части орбиты. А чтобы эти площади были одинаковы, планета должна идти быстрее, когда она ближе к Солнцу, и медленнее, когда она далеко от него.
Еще через несколько лет Кеплер сформулировал третье правило, которое касалось, не движения одной планеты вокруг Солнца, а связывало движения различных планет друг с другом. Оно гласило, что время полного оборота планеты вокруг Солнца зависит от величины орбиты и пропорционально квадратному корню из куба этой величины. А величиной орбиты считается диаметр, пересекающий самое широкое место эллипса.
Так Кеплер открыл три закона, которые можно свести в один, если сказать, что орбита планеты представляет собой эллипс - за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади и время (период) обращения планеты вокруг Солнца пропорционально величине орбиты в степени три вторых, т.е. квадратному корню из куба величины орбиты. Эти три закона Кеплера полностью описывают движение планет вокруг Солнца.
Спросим себя: что заставляет планеты двигаться вокруг Солнца? Во времена Кеплера некоторые люди отвечали, что позади планет сидят ангелы, машут крыльями и толкают планеты по орбитам. Позднее вы увидите, что этот ответ не так уж далек от истины. С той только разницей, что "ангелы" сидят в другом месте и толкают планету к Солнцу.
Тем временем Галилей исследовал законы движения самых обычных предметов, которые были у него под рукой. Изучая эти законы, производя различные опыты, чтобы выяснить, как скатываются шарики по наклонной плоскости, как качаются маятники и т.д. Галилей открыл великий принцип, который называется принципом инерции и состоит вот в чем: если на предмет ничто не действует и он движется с определенной скоростью по прямой линии, то он будет двигаться с той же самой скоростью и по той же самой прямой линии вечно. Как ни странно это звучит для тех, кто пытался заставить шарик вечно катиться по полу, но если бы эта идеализация была верна и на шарик ничто не действовало (например, трение о пол), то шарик все время катился бы с постоянной скоростью.
Затем наступила очередь Ньютона, который раздумывал над таким вопросом: а если шарик не катится по прямой линии, что тогда? И он ответил так: для того чтобы хоть как-нибудь изменить скорость, нужна сила. Например, если вы подталкиваете шарик в том направлении, в каком он катится, то он покатится быстрее. Если вы заметили, что он свернул в сторону, значит, сила действовала сбоку. Силу можно измерить произведением двух величин. Насколько меняется скорость за небольшой промежуток времени? Эта величина называется ускорением. Если ее умножить на коэффициент, называемый массой предмета, то произведение и будет силой.
Силу можно измерить. Например, если мы привяжем к веревке камень и станем крутить его над головой, то почувствуем, что за веревку надо тянуть. Правда, когда камень летает по кругу, величина скорости не изменяется - зато изменяется ее направление. Значит, нужна сила, которая все время тянула бы камень к центру, и сила эта пропорциональна массе. Если мы возьмем два разных предмета и станем раскручивать сначала один, а потом другой с той же самой скоростью, то во втором случае потребуется сила, во столько раз большая, во сколько масса второго предмета больше массы первого.
Таким образом, определив силу, необходимую для того, чтобы изменить скорость тела, мы можем вычислить его массу. Поэтому, решил Ньютон, планете, вращающейся вокруг Солнца, не нужна сила, чтобы двигаться вперед; если бы никакой силы не было, планета летела бы по касательной. Но на самом деле планета летит не по прямой. Она все время оказывается не в том месте, куда попала бы, если бы летела свободно, а ближе к Солнцу (рис. 3). Другими словами, ее скорость, ее движение отклоняются в сторону Солнца. Поэтому ангелы должны так махать крыльями, чтобы все время подталкивать планету к Солнцу.
Но свободное движение не имеет никакой видимой причины. Почему предметы способны вечно лететь по прямой линии, мы не знаем. Происхождение закона инерции до сих пор остается загадкой. В отличие от ангелов свободное движение существует, и, чтобы искривить его, нужна сила. Стало ясно, что источник этой силы. находится где-то около Солнца. И Ньютону удалось доказать, что второй закон Кеплера - закон равенства площадей - прямо вытекает из той простой идеи, что все изменения в скорости направлены к Солнцу. Даже в случае эллиптической орбиты. В следующей лекции я попытаюсь подробно объяснить вам, как это можно сделать.
Этот закон укрепил Ньютона в мысли, что сила, действующая на планеты, направлена к Солнцу и что, зная, как период обращения разных планет зависит от расстояния до Солнца, можно будет определить, как ослабляется сила с расстоянием. Он нашел, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния. До сих пор Ньютон не сказал ничего нового - он лишь повторил другими словами то, что сказал до него Кеплер. Один закон Кеплера равнозначен утверждению, что сила направлена к Солнцу, а другой - утверждению, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния.
Люди рассматривали в телескоп Юпитер со спутниками, обращающимися вокруг него, и им это напоминало маленькую Солнечную систему. Все выглядело так, будто спутники притягиваются к Юпитеру. Луна тоже вращается вокруг Земли и притягивается к ней точно таким же образом. Естественно, возникла мысль, что притяжение действует повсюду. Оставалось лишь обобщить эти наблюдения и сказать, что все тела притягивают друг друга. А значит, Земля должна притягивать Луну так же, как Солнце притягивает планеты. Но известно, что Земля притягивает и обычные предметы: вы, например, прочно сидите на стуле, хотя вам, может быть, и хотелось бы летать по воздуху. Тяготение предметов к Земле было явлением, хорошо известным. Ньютон предположил, что Луну на орбите удерживают те же силы, которые притягивают предметы к Земле.
Насколько падает Луна за секунду, нетрудно сообразить потому, что вы знаете размеры орбиты, знаете, что Луна обходит Землю за месяц и, подсчитав, сколько она проходит за секунду, сможете узнать, насколько круг лунной орбиты отклоняется за секунду от прямой линии, по которой бы летела Луна, если бы Земля ее не притягивала. Эта величина немногим больше 1,25 мм. Луна в 60 раз дальше от центра Земли, чем мы (мы удалены от центра Земли на 6400 км, а Луна - на 378000 км). Значит, если закон обратно пропорциональной зависимости от квадрата расстояния правилен, то предмет у поверхности Земли при падении должен пролетать за секунду 1,25 мм Х 602, потому что на орбите Луны предметы должны притягиваться в 60 Х 60 раз слабее. Итак, 1,25 мм Х 3600 - это примерно 5 м. Измерения Галилея показали, что, падая у поверхности Земли, тела пролетают в секунду 5 м. Это означало, что Ньютон встал на верную дорогу, потому что, если раньше было известно два независимых факта: во-первых, период вращения Луны и величина ее орбиты и, во-вторых, расстояние, которое пролетает падающее тело у поверхности Земли, то теперь эти факты оказались тесно связанными. Эта увлекательная проверка показала, что с теорией Ньютона все обстоит благополучно.
Затем Ньютон сделал еще несколько предсказаний. Ему удалось вычислить, какую форму должна иметь орбита, если закон обратной пропорциональности квадрату расстояния справедлив; он нашел, что орбита должна быть эллипсом, и получил третье подтверждение своего закона. Вдобавок ему удалось объяснить и некоторые другие явления.
Во-первых, приливы. Приливы вызваны тем, что Луна сама притягивает Землю и ее океаны. Так думали раньше, но вот что оказалось необъяснимым: если Луна притягивает воды и поднимает их над ближней стороной Земли, то за сутки происходил бы лишь один прилив - прямо под Луной (рис. 4). На самом же деле, как мы знаем, приливы повторяются примерно через 12 часов, т.е. два раза в сутки. Была и другая школа, которая придерживалась противоположных взглядов. Ее приверженцы считали, что Луна притягивает Землю, а вода за ней не успевает. Ньютон первым понял, что происходит на самом деле: притяжение Луны одинаково действует на Землю и на воду, если они одинаково удалены. Но вода в точке у ближе к Луне, чем Земля, а в точке х - дальше. В у вода притягивается к Луне сильнее, чем Земля, а в х - слабее. Поэтому получается комбинация двух предыдущих картинок, которая и дает двойной прилив.
