— Какую машину Миша хочет?
— Красную и большую!
Тут уже говорится о произведении двух множеств: «красных заводных машин» и «больших заводных машин»!
Пока учёные ограничивались конечными множествами, то есть множествами, содержащими конечное число элементов, никаких неожиданностей не возникало: использование множеств позволяло только, как говорил Эйлер, «облегчать рассуждения».
А вот когда стали изучать бесконечные множества, начались чудеса! К ним мы сейчас и перейдём.
НЕБЫЛИЦА О КАНТОРЕ, В КОТОРОЙ ВСЁ — ПРАВДА!
Разные множества есть в этом мире:Множество тапочек в нашей квартире,Множество ветров, гуляющих в поле,Множество тигров, живущих на воле,
Множество фильмов, в которых стреляют,Множество звёзд, что ночами мерцают,Множество тех, кто не спит до рассвета,Множество тех, кто не шлёт нам привета,
Множество тех, кто хотел бы подраться,Множество тех, кто умеет смеяться.Множество тех, чей приятель — блондин...Есть множество множеств, Но Кантор — один!
ШАХМАТНЫЙ БАЛ
Алиса с Чеширским Котом вышли к берегу моря и остановились перед обрывом. Далеко внизу пенился прибой.
— Как же мы попадём отсюда на бал? — удивлённо спросила Алиса и посмотрела на Кота.
Кот не ответил — он вглядывался вдаль и, казалось, чего-то ждал.
— За нами, наверное, должен прийти корабль, — подумала Алиса. — А, может быть, бал будет на самом корабле?
Она посмотрела туда, куда смотрел Кот, но не увидела ничего, кроме линии горизонта.
— Эта линия очень похожа на прямую, — сказала Алиса, показывая на линию горизонта.
— Ты уверена? — отозвался Кот.
— Ничего прямее даже представить невозможно! — воскликнула Алиса.
— Тогда посмотри кругом, — предложил Кот.
Алиса повела взглядом вдоль линии горизонта и с удивлением обнаружила, что море окружает их со всех сторон — они с Котом стояли теперь на одинокой скале посреди моря!
— Ну что? — широко улыбаясь, спросил Кот. — Ты по-прежнему считаешь, что линия горизонта похожа на прямую?
Алиса ещё раз обвела взглядом всю линию горизонта — для этого ей пришлось снова повернуться кругом!
— Нет, — признала она. — Линия горизонта возвращается в ту же точку, а прямая — не возвращается!
— Значит, линия горизонта — не прямая, — заключил Кот и, видя удивление Алисы, добавил: — Это окружность.
— Окружность рисуют циркулем, — вспомнила Алиса (она успела прочесть об этом в учебнике математики). — Но где же здесь циркуль?
— Циркуль — это твой взгляд, — пояснил Кот. — Все точки окружности находятся на одном и том же расстоянии от её центра — потому её и рисуют циркулем! А все точки линии горизонта находятся на одном и том же расстоянии от нас.
— Действительно, — согласилась Алиса, еще раз поворачиваясь вокруг себя и глядя на линию горизонта. — Скажите, мы ждём, когда за нами придёт корабль?
— Нет, — ответил Кот. — Мы ждём, когда уйдёт линия горизонта.
— Что?! — поразилась Алиса. — Куда же она может уйти?
— В бесконечность, — отозвался Кот. — Наша планета начнёт сейчас увеличиваться, а чем больше планета, тем дальше линия горизонта!
— Но зачем планете увеличиваться? — удивилась Алиса. — По-моему, она и так уже достаточно большая — наверное, не меньше Земли!
— Даже если бы она была в миллион раз больше Земли, на ней не смогло бы уместиться бесконечное множество танцующих, — ответил Кот. — Для этого планета должна стать бесконечно большой!
— Бесконечное множество танцующих? — переспросила Алиса. — Неужели будет такой большой бал?
— Уверяю тебя, такого бала ты никогда ещё не видела! — воскликнул Кот и вдруг показал лапой вдаль: — Смотри!
Алиса внимательно посмотрела на линию горизонта и увидела, что линия действительно начала удаляться! Она уходила всё дальше и дальше и, наконец, ушла в невообразимую даль.
Сразу же вслед за этим налетели резкие порывы ветра, и всё море подёрнулось пятнами ряби. Кое-где появились даже барашки, причём барашки были не только белыми, но и чёрными!
Вдруг Алиса заметила, что пятна на море начали превращаться в белые и чёрные квадраты, а барашки — в белые и чёрные шахматные фигуры! Она перевела удивлённый взгляд на Кота и... почувствовала, будто скала под нею качнулась! Алиса невольно схватилась за Кота.
— Не бойся, — улыбнулся Кот. — Просто мы летим!
И действительно, Алиса с Котом находились теперь в большой корзине, от которой уходили вверх туго натянутые канаты. Подняв голову, Алиса увидела над собою большой воздушный шар!
Она посмотрела вниз — никакой скалы не было и в помине: под ними расстилалась бескрайняя шахматная доска, а на ней, насколько хватал глаз, стояли шахматные фигуры.
Алисе захотелось рассмотреть фигуры получше.
— Жаль, что у нас нет подзорной... — начала думать она, и Кот протянул ей длинную подзорную трубу.
Направив трубу вниз, Алиса увидела много интересного.
Прежде всего, фигуры были живыми! Они стояли небольшими группами одного цвета: король, королева и восемь пешек-пажей в каждой группе. На королях и королевах были длинные мантии, которые развевались при каждом движении, а на пажах — короткие плащи, легкие, как ветер.
Присмотревшись, Алиса увидела, что на одежде каждой фигуры красиво вышито число: на белых фигурах цифры были чёрными, а на чёрных — белыми.
В одной из групп белых фигур Алиса узнала своего знакомого Белого Короля; на его мантии и на мантии стоящей рядом с ним Белой Королевы были вышиты большие чёрные единицы. Почувствовав на себе взгляд Алисы, Король поднял голову и помахал Алисе рукой. Она ответила ему, и вдруг белые пешки-пажи тоже стали её приветствовать (Алисе, конечно, трудно было узнать в этих изящных пажах своих знакомых-поварят, но они её узнали!). На белых плащах пажей были вышиты числа от одного до восьми.
Рядом с этой группой белых фигур стояла группа чёрных фигур. Алиса заметила, что на мантиях Чёрного Короля и Чёрной Королевы вышиты белые единицы, а на плащах пажей — тоже числа от одного до восьми.
— Что означают числа на одежде фигур? — спросила Алиса.
— Каждая фигура имеет свой номер, — пояснил Кот.
— А здесь есть фигуры с любыми номерами? — снова спросила Алиса, пытаясь окинуть взглядом безбрежное море фигур.
— С любыми, — подтвердил Кот. — Какое натуральное число ни возьми, здесь есть один белый король с таким номером, одна белая королева и одна белая пешка. И чёрные фигуры пронумерованы точно так же.
— Но зачем нужны эти номера? — спросила Алиса, но в этот момент заиграла музыка.
Первым танцем был менуэт — «король танцев» и «танец королей». Белые короли вели чёрных королев, а чёрные короли — белых королев. Это было великолепное зрелище: сверху казалось, будто по всей шахматной доске под медленную музыку двигаются чёрно-белые волны.
— Обрати внимание на важное правило танца, — сказал Кот, любуясь танцующими парами, — каждый король ведёт королеву с точно таким же номером, как у него самого.
— Действительно, — подтвердила Алиса, внимательно посмотрев в подзорную трубу. — Но разве это так важно?
— Очень важно, — отозвался Кот. — Ведь только благодаря этому правилу можно быть уверенным, что каждый король пригласил королеву и каждая королева приглашена королём.
— Но это же и так видно! — воскликнула Алиса.
— Увидеть бесконечное число фигур невозможно, — возразил Кот. — И если бы не это правило — одинаковые числа в каждой паре, — то многие королевы могли бы остаться неприглашёнными!
— А все короли при этом танцевали бы? — недоверчиво спросила Алиса.
— Все до единого, — ответил Кот.
— Не может быть! — воскликнула Алиса.
— Ещё как может! — отозвался Кот. — Даже бесконечно много королев могли бы остаться неприглашёнными...
Алиса хотела возразить Коту, но в этот момент музыка смолкла, и Кот сказал:
— Следующие два танца с королевами будут танцевать пажи.
— А как же короли? — удивилась Алиса.
— Королям надо обсудить кое-какие дела друг с другом, — пояснил Кот.
— Я вижу, короли занимаются королевскими делами даже на балах, — заметила Алиса.
Фигуры на шахматной доске быстро перестроились, и грянул какой-то веселый танец. Чёрные пешки как по команде окружили белых королев, а белые — чёрных, и через секунду вокруг каждой королевы, взявшись за руки, кружились восемь пешек. Сверху казалось, будто под стремительную музыку вскипает океан!
Алиса тоже невольно начала приплясывать, и Кот тут же последовал её примеру. Маленькая корзина воздушного шара закачалась под музыку из стороны в сторону.
