Теорию бесконечных множеств создали в XIX веке чешский математик Больцано и немецкий математик Кантор. Они догадались, что сравнивать бесконечные множества можно единственным способом: составляя из элементов этих множеств пары (помните танцующие пары на «шахматном балу»?). И если можно составить пары так, что любому элементу первого множества найдется «компаньон» среди элементов второго множества, а любому элементу второго — «компаньон» среди элементов первого множества, причём каждый элемент входит в одну пару, то следует считать, что оба множества содержат элементов поровну.
Было строго доказано, что такой способ сравнения множеств не приводит к противоречиям, хотя при этом и возникают «чудеса», подобные описанным выше. Более того, появляются и новые «чудеса»: например, оказывается, что отрезки разной длины содержат одинаковое «число» точек! Вот как это доказывается:
Из этого рисунка видно, как можно составлять «пары» из точек двух отрезков — короткого и длинного. При этом, действительно, все точки обоих отрезков «собираются в пары»!
Можно доказать и большее — что на любом отрезке столько же точек, сколько на всей бесконечной прямой! Мы это сделаем в два приёма. Сначала докажем, что на отрезке столько же точек, как на полуокружности:
А теперь докажем, что на полуокружности столько же точек, сколько на всей прямой:
(может быть, некоторые из вас заметили, что для двух крайних точек полуокружности не нашлось точек-«компаньонов» среди точек прямой, но эта проблема легко решается: можно было, например, с самого начала взять отрезок без крайних точек).
А как вы думаете, где больше точек — во всём квадрате (включая его «внутренность») или только на одной его стороне?
Сам Кантор, «отец» теории бесконечных множеств, был уверен, что в квадрате точек больше. На поиски доказательства этого «очевидного» факта у него ушло три года, и в конце концов он доказал, что... точек в квадрате столько же, сколько на одной его стороне! Поражённый этим выводом, Кантор писал другому математику: «Я вижу это, но не верю этому». И тем не менее доказательство было безупречным (мы его здесь не приводим — оно не очень простое!).
Может быть, вы решили уже, что все бесконечные множества «одинаковы», то есть содержат одинаковое «число» элементов? Оказывается, и это не так: тот же Кантор показал, что существует бесконечно много разных бесконечных множеств, причем одни из них в «бесконечное число раз» больше других! Например, точек на отрезке «больше», чем всех натуральных чисел. Однако точный смысл слова «больше» для бесконечных множеств не так просто объяснить, да и, кроме того, мы побаиваемся, что у вас и так уже закружилась голова от «бесконечных чудес» с бесконечными множествами!
А если она еще не совсем закружилась, то вы, наверное, задались вопросом: зачем нужны бесконечные множества? Может, это только блестящая игра ума, которую математики придумали себе для развлечения?
Дело в том, что вся математика пронизана идеей бесконечности: ведь почти в любой теореме говорится о бесконечном множестве каких-то предметов, например, чисел или фигур (помните теорему о сумме углов любого треугольника?). И вот для того, чтобы математические доказательства были строгими, математикам и пришлось овладеть бесконечностью — иного способа доказывать, что в их великой «выдумке» нет «обмана», просто не существует!
Напомним на прощанье слова великих математиков двадцатого века.
Пуанкаре: «Если кто-нибудь захочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что математика — это наука о бесконечности».
Гильберт: «Ни одна проблема не волновала так глубоко человеческую душу, как проблема бесконечности».
НЕБЫЛИЦА О ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЕ, ЖИВУЩЕМ В БЕСКОНЕЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
Галилей глядит на небоВ самодельный телескоп,Галилей от удивленьяМорщит свой высокий лоб:
Там, где Млечный путь проходит,Видит ясно наш геройВместо чуть заметной дымкиБесконечный звёздный рой!
— Как огромно мирозданье! —Восклицает Галилей,И его воображеньеРазгорается сильней:
Может, где-то есть планета,Очень сходная с Землёй,Может, там есть тоже море,И шумит морской прибой?
Галилей глядит на небо,И фантазия егоОбнимает мирозданье...Но не знает он того,
Что сейчас на той планетеКто-то тоже морщит лобИ разглядывает небоВ самодельный телескоп,
И его воображеньеТоже всё смелей, смелей...И он тоже носит имя —Галилео Галилей!
Конец
Когда через неделю мистер Доджсон снова пригласил Алису и её сестёр на лодочную прогулку, Алиса рассказала свой удивительный сон.
— Я всегда считал, что даже спать над страницами учебника математики и то интересно, — произнёс мистер Доджсон, когда Алиса закончила рассказ. — К тому же снятся вещие сны, — добавил он.
— Почему вещие? — спросила Ларина, пытаясь понять: шутит мистер Доджсон или говорит серьёзно.
— Добрую половину героев нового сна Алисы я ещё не придумал, — объяснил мистер Доджсон.
— Я это заметила, — сказала Алиса. — Например, шахматных фигур в Стране Чудес не было...
— Они будут в следующей сказке, — пообещал мистер Доджсон. — И они, и Шалтай-Болтай, и братья-близнецы... А что касается математики, то кое-что из того, что тебе приснилось, ещё не придумано математиками...
— Они обязательно это придумают! — заверила Эдит. — Сон-то был вещий!
Все дружно рассмеялись.
А ведь Эдит оказалась права!
Да, мы чуть не забыли о самом интересном: вечером того дня, когда Алисе приснился её удивительный сон, она случайно сунула руку в карман, и там оказался... карандаш, подаренный ей Чеширским Котом в межзвёздном пространстве!
Но об этом Алиса никому не рассказала.
*
Перевод Ц. Бану
*
Английская старинная песенка-загадка. Перевод С.Я. Маршака.
*
Старинная английская песенка (перевод Д.Г. Орловской). Эта песенка появилась в семнадцатом веке, когда Англия и Шотландия объединились и был принят новый британский герб, на котором английский лев и шотландский единорог поддерживают королевский щит (они его поддерживают до сих пор!).
*
В Англии шахматный конь называется «рыцарем».
*
Некоторые думают, что из Черепахи Будто готовят «будто черепаховый суп», но Алиса знала, что на самом деле такой суп готовят из телятины, а Черепаху Будто никто не обижает!
