Как заметил Калаби: «Я изучал кэлерову геометрию и понял, что пространство, которое может иметь по крайней мере одну кэлерову метрику, может также иметь и другие кэлеровы метрики. Найдя одну из них, не составит труда найти и прочие. Моей целью было нахождение такой метрики, которая была бы лучше всех остальных — более “округлая”, если так можно выразиться, — та, которая дает больше всего информации и сглаживает все неровности многообразия». Таким образом, гипотеза Калаби, по его словам, посвящена тому, как найти «лучшую» метрику.[43]
Можно выразить это словами Грина: «Мы пытаемся найти ту единственную метрику, которую дал нам Бог».[44]
Лучшей с геометрической точки зрения иногда является так называемая «однородная» метрика. В этом случае, зная свойства одной из частей поверхности, можно сделать выводы о поверхности в целом. Благодаря постоянной кривизне и постоянной кривизне в двухмерном направлении, сфера представляет собой пример однородной метрики. Обладая совершенной симметрией, сфера со всех сторон выглядит одинаково, в отличие, например, от футбольного мяча, имеющего на поверхности швы и неровности. В то время как для сферы однородность метрики при положительной кривизне является возможной, многообразия Калаби-Яу, имеющие более одного комплексного измерения, могут характеризоваться постоянной кривизной в двухмерном направлении только в том случае, если они являются совершенно плоскими, — в этом случае кривизна в двухмерном направлении всюду равна нулю. Если не рассматривать этот вариант, то, по словам Калаби, «лучшим из остающихся вариантов будет попытка сделать кривизну настолько постоянной, насколько это только возможно».[45]Лучшее, что нам удалось, — сделать постоянной кривизну Риччи, точнее, приравнять ее к нулю.
Гипотеза Калаби в целом является более общим утверждением и не ограничивается случаем равенства нулю кривизны Риччи. Случай постоянной кривизны Риччи также очень важен, особенно случай постоянной отрицательной кривизны, который использовался мной для решения некоторых важных проблем алгебраической геометрии, — о чем пойдет речь в шестой главе. Однако случай нулевой кривизны Риччи особо важен, поскольку кривизна в данном случае не просто постоянна, а равна нулю. А это, в свою очередь, порождает особую проблему — задачу нахождения метрики для многообразия или класса многообразий, которые, будучи близки к совершенству, тем не менее интересны с геометрической точки зрения.
В этом и состояло препятствие. Через два десятилетия после того, как Калаби сформулировал свое утверждение, очень немногие из математиков — как, впрочем, и сам автор гипотезы — верили в ее истинность. По сути, она была слишком хороша, чтобы быть истинной. Я также находился в рядах скептиков, но, не желая оставаться далее на вторых ролях, скрывал свои сомнения. С другой стороны, я горел желанием доказать ее неверность.
Пятая глава
Доказывая Калаби
Математическое доказательство чем-то напоминает восхождение на гору. На первом этапе, конечно, требуется найти гору, которая стоила бы восхождения. Представьте себе отдаленную пустынную местность, где еще не ступала нога человека. В наши дни такую местность обнаружить непросто, не говоря уже о том, удастся ли там найти что-то стоящее. Затем альпинист разрабатывает план, как добраться до вершины, который кажется ему безупречным, по крайней мере, на бумаге. После приобретения нужных инструментов и оборудования, а также необходимых навыков, авантюрист приступает к восхождению, однако останавливается, столкнувшись с неожиданными трудностями. Но те, кто пойдет по его следам, используя те из его приемов, которые оказались удачными, выбирая другие пути, — достигнут новых высот на пути к вершине. Наконец появляется некто, не только имеющий хороший план, позволяющий избежать прошлых ошибок, но и решительно настроенный на то, чтобы покорить эту вершину и, возможно, установить на ней флаг в знак своего достижения. В математике угроза жизни и здоровью первопроходцев не столь велика, да и их приключения едва ли покажутся захватывающими кому-либо со стороны. И завершение долгого доказательства ученый не отмечает установкой флага. Он (или она) публикует это доказательство в научном журнале. Или в подстрочном примечании. Или в техническом приложении. В любом случае, и в нашей области есть и азарт, и опасность, с которыми мы постоянно сталкиваемся в процессе поисков, и успех сопутствует тем из нас, кому удалось по-новому взглянуть на скрытые тайны природы.
К началу 1970-х годов уже успело пройти не одно десятилетие с того момента, как Эудженио Калаби обнаружил свою «гору» — впрочем, мы по-прежнему нуждались в подтверждении того, что эта гора действительно была горой, а не, скажем, земляным холмиком. Я, например, вовсе не собирался безоговорочно верить тем неожиданным утверждениям, которые он представил перед нами. Причин для скептицизма, как я уже говорил, было немало. Прежде всего, многие сомневались в возможности существования компактных неограниченных многообразий с нетривиальной риччи-плоской метрикой (отличных от неинтересных нам плоских торов). В то время не было известно ни одного примера подобного многообразия, тогда как этот парень, Калаби, утверждал, что число многообразий данного типа огромно (или даже бесконечно).
Кроме того, Калаби, по словам Роберта Грина, в своей гипотезе воспользовался общим топологическим условием, чтобы получить частный геометрический вывод, который при этом должен быть верен для всего пространства. Для реальных многообразий, у которых отсутствует сложная структура, это неверно, однако для комплексных многообразий, к которым относится гипотеза, это в принципе возможно.[46] Говоря более конкретно, с точки зрения Грина, гипотеза Калаби утверждает, что начиная со случая одного комплексного измерения (и двух вещественных), исходя из общей топологии и формы, где средняя кривизна равна нулю, можно найти метрику или геометрию, где кривизна везде равна нулю. Для случая высоких размерностей гипотеза Калаби конкретно указывает на кривизну Риччи (которая совпадает с гауссовой кривизной для двух вещественных измерений, но отличается от нее, если размерность выше двух), а условие равенства нулю средней кривизны Риччи заменяется условием обращения в нуль первого класса Черна. Калаби утверждал, что если топологическое условие обращения в нуль первого класса Черна выполняется, то должна существовать кэлерова метрика с нулевой кривизной Риччи. Таким образом, весьма широкое и размытое утверждение заменялось гораздо более узким и строгим — и именно поэтому Грин и большинство других математиков сочли это довольно неожиданным.
Я тоже с большим подозрением отнесся к данному утверждению, исходя из ряда формальных причин. Принято было считать, что никто никогда не сможет записать точное решение гипотезы Калаби за исключением разве что нескольких частных случаев. Если это предположение было правильным — что и было впоследствии доказано, — то ситуация становилась безнадежной, и тогда утверждение Калаби можно охарактеризовать как «слишком хорошее, чтобы быть правдой».
Можно провести следующую аналогию с теорией чисел. Хотя существует множество чисел, записать которые на бумаге не составляет ни малейшего труда, существует гораздо более обширный класс чисел, которые мы никогда не сможем записать в явном виде. Эти числа, называемые трансцендентными, включают в свое множество, например, e (2,718…) и π (3,1415…), запись которых даже с триллионом знаков после запятой все равно не будет полной. С технической точки зрения это происходит потому, что такие числа нельзя получить путем алгебраических преобразований и они не являются корнями полинома с рациональными коэффициентами. Ввести их можно только при помощи определенных правил, это означает, что мы можем дать сколь угодно точное и обширное их описание, но никогда — дословное.
Похожая ситуация возникает и с нелинейными уравнениями типа тех, что относятся к гипотезе Калаби. Решением нелинейного уравнения является функция. При этом едва ли стоит ожидать, что найденное решение будет иметь простой и явный вид, например, что его можно будет выразить при помощи точной формулы, поскольку в большинстве случаев таких формул просто не существует. Единственное, что остается, — это пытаться аппроксимировать решение хорошо известными нам функциями: полиномиальными, тригонометрическими (такими, как синус, косинус и тангенс) и некоторыми другими. Если же попытка аппроксимации решения уравнения известными нам функциями оказалась неудачной, у нас начинаются проблемы.
Держа в голове все вышесказанное, я попытался в свободное от работы время найти контрпримеры к гипотезе Калаби. Были волнующие мгновения: мне казалось, что я наконец нашел направление атаки, позволяющее опровергнуть эту гипотезу, — однако позже я обнаруживал изъяны в моей, вроде бы безупречной, конструкции. Это происходило неоднократно. В 1973 году на меня снизошло озарение. На этот раз я чувствовал, что действительно напал на верный путь. Подход, который я избрал — доказательство от противного, — был аналогичен тому подходу, который мы с Ричардом Шоном использовали для доказательства гипотезы о положительности массы. И на этот раз я мог поручиться за безупречность своего доказательства.
