Позже, в 1974 году, Калаби и Ниренберг объявили, что им удалось найти решение краевой задачи для комплексных уравнений Монжа-Ампера. Впрочем, оказалось, что они допустили ошибку, и оценка третьего порядка для точек, находящихся на границе, по-прежнему отсутствовала.
Вскоре мы с Ченгом представили и свою версию оценки третьего порядка на границе. Это произошло во время обеда, на который Ч. Ш. Черн пригласил нас, чтобы мы составили компанию ему с Ниренбергом. Ниренберг в то время уже был большой шишкой, тогда как мы только окончили университет, поэтому всю ночь перед предполагавшимся обедом мы посвятили проверке нашего доказательства и, к нашему ужасу, обнаружили в нем ошибки. На их исправление и переписывание доказательства нам потребовалась целая ночь. Следующим вечером мы показали наше доказательство Ниренбергу. Он остался им доволен, мы также остались им довольны, так что теперь можно было спокойно наслаждаться обедом. Но уже после обеда мы с Ченгом заново просмотрели доказательство и нашли в нем новые ошибки. Только через шесть месяцев после этого, в самом конце 1974 года, мы закончили работу над краевой задачей. Нам удалось решить ее путем исследования уравнения, близкого к тому, над которым работали Левнер и Ниренберг, только для более высоких размерностей. Метод, который мы использовали, позволял не принимать во внимание оценку третьего порядка, делая ее необязательной.
Закончив эту работу, я был готов приступить к комплексному варианту гипотезы Калаби — задаче, которая, в отличие от задачи Дирихле, сформулированной для комплексного евклидова пространства, относилась к случаю комплексного многообразия. Мое стремление как можно быстрее приступить к ее доказательству было столь сильным, что к публикации статьи, посвященной задаче Дирихле, мы смогли вернуться только через пять лет — в 1979 году.
Когда задача Дирихле осталась позади, большая часть оставшейся работы представляла собой обобщение или, иными словами, перевод оценок, сделанных для вещественных уравнений Монжа-Ампера, в оценки для комплексных уравнений. Этот путь мне пришлось преодолевать уже в одиночку, поскольку дороги Ченга лежали немного в другом направлении.
Когда-то, в 1974 году, Калаби и Ниренберг совместно с Дж. Дж. Коном из Принстона уже начинали работу над комплексной разновидностью задачи Дирихле в евклидовом пространстве. Они добились определенных успехов в исследовании оценок третьего порядка, так что мне оставалось применить их результаты к случаю искривленного пространства. В том же году у меня возникли некоторые идеи по поводу нахождения оценок второго порядка для гипотезы Калаби, при этом я опирался на собственную работу 1972 года, посвященную так называемой лемме Шварца. Эта лемма, или мини-теорема, появилась еще в XIX столетии и не имела ничего общего с геометрией, до тех пор пока в первой половине XX столетия она не была переосмыслена профессором Гарвардского университета Ларсом Альфорсом. Теорема Альфорса относилась только к римановым поверхностям, имеющим по определению одно комплексное измерение, но мне удалось обобщить ее для случая любой комплексной размерности.
Приготовления к поиску оценки второго порядка для гипотезы Калаби я закончил летом 1975 года. Год спустя я узнал, что французский математик Тьерри Обен нашел подход к данной оценке независимо от меня. Сделав оценку второго порядка, я также показал ее зависимость от оценки нулевого порядка и продемонстрировал возможность перехода от нулевого порядка ко второму. После окончания работы над этой оценкой оставался только один нерешенный вопрос, от которого теперь зависела судьба всего доказательства, — нахождение оценки нулевого порядка. Из оценки нулевого порядка я уже мог получить оценку как второго, так и первого порядка — в качестве бесплатного приложения к уже найденным, поскольку из оценок нулевого и второго порядков оценка первого порядка следует автоматически. Это было чистой воды везение. Фигурально выражаясь, так легли карты и, в целом, легли они весьма неплохо. Оценка третьего порядка также оказалась зависящей от оценок нулевого и второго порядков — то есть все свелось к нахождению оценки нулевого порядка. Знание этой оценки должно было расставить все остальное на свои места, но без нее все прочее было бы бессмысленно.
Свою работу я заканчивал в Курантовском институте Нью-Йорка, находясь на должности приглашенного сотрудника — эту должность мне помог занять Ниренберг. Вскоре моя невеста Ю-Юн, работавшая до этого в Принстоне, получила предложение работы в Лос-Анджелесе. Не желая разлучаться с ней, я занял другую приглашенную должность в Калифорнийском университете. В 1976 году мы вместе проехали всю страну с востока на запад, собираясь заключить брак сразу же по прибытии в Калифорнию. И действительно, прибыв в Калифорнию, мы тут же обвенчались. Эта поездка запомнилась нам надолго: мы были влюблены друг в друга, природа вокруг поражала своей красотой и большую часть пути мы строили планы на будущую совместную жизнь. Но все же я должен признаться, что даже тогда было нечто, что не давало мне покоя: в моей голове по-прежнему крепко сидела гипотеза Калаби и, в частности, оценка нулевого порядка, которая никак мне не поддавалась. Целый год я бился над ее поисками. В сентябре 1976 года, сразу после нашей свадьбы, мои усилия, наконец, увенчались успехом, и остальные части доказательства тут же встали на свои места. Как оказалось, семейная жизнь была именно тем, чего мне недоставало.
Задача нахождения оценки нулевого порядка аналогична нахождению оценок других порядков: на некое уравнение или функцию необходимо наложить ограничения — как сверху, так и снизу. Иными словами, функцию нужно поместить в воображаемый ящик и показать, что функция «влезет» в него, даже если размеры ящика не будут бесконечно велики. Если это возможно сделать, то функцию можно считать ограниченной сверху. С другой стороны, нужно показать, что функция не настолько мала, чтобы каким-либо образом «просочиться» за пределы ящика, таким образом ограничив ее снизу.
Один из возможных подходов к задаче такого типа состоит в том, чтобы взять абсолютное значение — модуль функции, которое говорит о ее величине в целом вне зависимости от того, положительное или отрицательное значение она принимает. Для того чтобы проверить функцию u, нужно показать, что ее абсолютное значение в любой точке пространства будет меньше постоянной величины c (или равно ей). Поскольку значение c точно определено, необходимо просто показать, что функция u не может произвольно принимать очень большие или очень малые значения. Иными словами, утверждение, которое мы хотим доказать, является простым неравенством, утверждающим, что модуль функции u должен быть меньше или равен c: |u|≤c. И хотя оно выглядит не особо сложным, в том случае, когда u является комплексным объектом, доказательство требует достаточно много усилий.
Я не буду подробно останавливаться на деталях доказательства, отмечу только, что оно основывалось на оценке второго порядка для уравнения Монжа-Ампера, которую я уже сделал ранее. Мне также пригодилось известное неравенство Пуанкаре, а также неравенство, полученное российским математиком Сергеем Соболевым. Оба они содержали возведенные в определенную степень интегралы и производные различных порядков от абсолютного значения u. Последнее, а именно нахождение различных степеней интегралов и производных от u, имело решающее значение для проведения оценок, поскольку, только показав, что интегралы и производные от u в степени p даже при очень больших p все равно остаются ограниченными, можно считать работу выполненной. После этого функцию можно было считать стабильной. В конце концов, с помощью этих неравенств и различных теорем, а также ряда лемм, сформулированных мной по ходу доказательства, я смог это сделать. Когда, наконец, оценка нулевого порядка была получена, работу можно было считать завершенной.
Впрочем, говорят, что нельзя судить о пудинге до тех пор, пока его не попробуешь, — даже если что-то имеет привлекательный вид, окончательный вывод можно сделать только после тщательной проверки. Я не мог слепо полагаться на удачу. Однажды я уже поставил себя в неловкое положение, публично заявив на стэнфордской конференции 1973 года, будто знаю, как опровергнуть гипотезу Калаби. Тогда мое предполагаемое опровержение провалилось, и если бы теперь точно так же провалилось и мое подтверждение гипотезы Калаби, моя репутация как математика оказалась бы под большим вопросом. Я точно знал, что на данном этапе своей карьеры — мне тогда еще не исполнилось тридцати — я не могу позволить себе ошибиться вновь, по крайней мере, в столь важном деле.
