Струна, колебания которой ограничены одним измерением, может колебаться только в продольном направлении — путем сжатия и растяжения. В случае двух измерений колебания струны возникнут как в продольном, так и в перпендикулярном к нему поперечном направлении. Для трех и более измерений число независимых колебаний будет продолжать расти до тех пор, пока размерность не станет равной десяти (девять пространственных измерений и одно временное) — именно тот случай, в котором удовлетворяются математические требования теории струн. Вот почему теория струн требует как минимум десяти измерений. Строго говоря, причина, по которой теория струн требует ровно десять измерений, а не больше и не меньше, относится к понятию о сокращении аномалий, которое возвращает нас в 1984 год, к тому месту, на котором я прервал повествование.
Большинство струнных теорий, разработанных на тот момент, страдали наличием аномалий или несовместимостей, делающих все их предсказания бессмысленными. Эти теории, к примеру, приводили к возникновению неверного типа лево-правой симметрии — несовместимой с квантовой теорией. Ключевой прорыв был сделан Майклом Грином, в то время работавшим в Колледже Королевы Марии в Лондоне, и Джоном Шварцем из Калифорнийского технологического института. Основная проблема, которую удалось преодолеть Грину и Шварцу, относилась к так называемому нарушению четности — идее о том, что фундаментальные законы природы несимметричны в отношении зеркального отражения. Грин и Шварц обнаружили способ формулирования теории струн в таком виде, который подразумевал, что нарушение четности в системе действительно имеет место. Квантовые эффекты, из-за которых в теории струн возникали всевозможные несоответствия, в десятимерном пространстве удивительным образом взаимно уничтожились, породив тем самым надежды на то, что именно эта теория и является истинной. Успех Грина и Шварца обозначил начало того, что впоследствии было названо первой струнной революцией. То, что им удалось обойтись без аномалий, позволило говорить о способности данной теории привести к объяснению вполне реальных физических эффектов.
Отчасти задача исследователя состоит в том, чтобы убедиться в способности теории струн дать ответ на вопрос: почему Вселенная именно такова, какова она есть? Этот ответ должен объяснить и причину, по которой пространство-время, в котором мы живем, выглядит четырехмерным, в то время как теория настаивает на его десятимерности. В теории струн это кажущееся несоответствие объясняется компактификацией. Это понятие не является совершенно новым, поскольку Калуца и Клейн (особенно Клейн) уже предполагали, что дополнительное измерение в их пятимерной теории на самом деле компактифицировано — сжато до столь малых размеров, что увидеть его было попросту невозможно. В аналогичной ситуации оказались и струнные теоретики — только они имели в своем распоряжении не одно, а шесть «лишних» измерений.
Слово «лишние» вводит в заблуждение, поскольку мы на самом деле не пытаемся избавиться от каких-либо измерений. Задача состоит в том, чтобы неким замысловатым образом свернуть эти измерения — придать им строго определенную геометрическую форму, которая позволила бы произвести магический акт компактификации, составляющий одну из основных задач теории струн. При этом количество возможных геометрий, ведущих к различным способам компактификации, чрезвычайно велико.
Вся идея, по словам гарвардского физика Кумруна Вафы, может быть представлена в виде простого уравнения, понятного каждому: 4+6=10.[54] Этим можно ограничиться, хотя вы, возможно, захотите переформулировать его в виде: 10-6=4, означающем, что, скрыв (или вычтя) шесть измерений, мы получим десятимерную Вселенную, кажущуюся нам четырехмерной. Компактификацию с тем же успехом можно рассматривать как своеобразную разновидность умножения, известную как декартово, или прямое, произведение — произведение, в котором количества измерений складываются, а не умножаются. Соответствующее уравнение, описывающее результирующее многообразие, в котором четыре измерения объединяются с шестью (4×6=10), предполагает, что наше десятимерное пространство-время имеет подструктуру, являющуюся прямым произведением четырех- и шестимерного пространства-времени, точно так же как плоскость представляет собой прямое произведение двух линий, а цилиндр — прямое произведение линии и окружности. Цилиндр, как уже говорилось, представляет собой наглядную и часто используемую иллюстрацию идеи Калуцы и Клейна. Если вы представите наше четырехмерное пространство-время в виде линии, имеющей бесконечную протяженность в обоих направлениях, а затем мысленно разрежете ее и рассмотрите один из концов в микроскоп, то сможете увидеть, что на самом деле эта линия имеет некую толщину, и правильнее было бы говорить о ней не как о линии, а как о цилиндре, хотя и очень маленького радиуса. Именно внутри этой окружности крошечного радиуса и спрятано пятое измерение теории Калуцы-Клейна. Теория струн продвигает эту идею на несколько шагов дальше, утверждая, что, посмотрев на сечение этого тонкого цилиндра при помощи еще более мощного микроскопа, можно обнаружить не одно, а целых шесть скрытых внутри него измерений. Независимо от того, где вы находитесь — в четырехмерном пространстве-времени или на поверхности бесконечно длинного цилиндра, — к каждой точке прикреплено крошечное шестимерное пространство. И независимо от того, где вы находитесь в этом бесконечном пространстве, можете быть уверены, что компактное шестимерное пространство, спрятанное «по соседству», будет точно таким же.
Эта картина, конечно, является весьма грубой и схематичной и ничего не говорит нам о подлинной геометрии этого компактифицированного шестимерного мира. Возьмем, к примеру, обычную сферу, представляющую собой двухмерную поверхность, и мысленно сожмем ее в точку, то есть превратим ее в нульмерный объект. Таким образом, мы компактифицировали два измерения, превратив их в ничто. Можно попытаться таким же образом свести десять измерений к четырем, сжимая теперь уже шестимерную сферу a2+b2+c2+d2+e2+f2=1, но в качестве геометрии дополнительных измерений этот вариант не пройдет; уравнения теории струн требуют строго определенной структуры шестимерного пространства, и обычная сфера этим требованиям не соответствует.
Было ясно, что требовалась более сложная форма, и после успеха Грина и Шварца с нарушением четности задача нахождения этой формы вышла на первый план. Как только физикам стал бы известен точный вид многообразия, в которое сворачиваются дополнительные шесть измерений, они, наконец, смогли бы перейти от слов к делу.
Следующий шаг был предпринят в 1984 году, когда Грин, Шварц и Питер Вест из Кингс-Колледжа заинтересовались K3-поверхностями — широким классом комплексных многообразий, который изучался математиками уже более столетия, хотя внимание именно физиков K3 привлекли, когда мои доказательства гипотезы Калаби показали, что эти поверхности могут поддерживать риччи-плоскую метрику. «Я понял, что компактное пространство должно быть риччи-плоским, для того чтобы космологическая постоянная пространства более низкой размерности, в котором мы живем, не была положительной — как и требовали все теории того времени», — вспоминает Шварц.[55] В свете последующего открытия темной энергии, предполагающей наличие чрезвычайно малой, но все же положительной космологической постоянной, пришлось разработать более сложные варианты теории, предполагающей возникновение очень малой космологической постоянной в нашем четырехмерном мире из компактных риччи-плоских пространств, — об этом пойдет речь в десятой главе.
Поверхность K3, обязанная своим названием горе K2 и трем математикам, исследовавшим геометрию подобных пространств, — Эрнсту Куммеру, упоминавшемуся ранее Эриху Кэлеру и Кунихико Кодайра, — была выбрана для предварительной проверки несмотря на наличие у нее только четырех вещественных (или двух комплексных) измерений вместо требуемых шести, во многом благодаря тому, что коллеги убедили Грина, Шварца и Веста в отсутствии аналогов этих многообразий более высокой размерности. Однако, как говорит Грин: «Я совершенно уверен в том, что мы нашли бы способ расставить все по местам… даже если бы в то время и не получили этой информации [о существовании шестимерных аналогов риччи-плоских K3 поверхностей]».[56] «То, что исследование было начато с испытанных K3 поверхностей, — добавляет Шварц, — было обусловлено совсем не желанием найти подлинный вид компактификации. Мы просто хотели поиграть, посмотреть, что мы получим в результате и как это связано с сокращением аномалий».[57] С тех пор поверхности K3 имеют неоценимое значение для струнных теоретиков, исполняя роль «игрушечных моделей» для компактификации. Они также незаменимы при исследовании двойственностей в теории струн, о которых пойдет речь в следующей главе.
