Читаем без скачивания Философия и логика времени - Юрченко Борисович

Если мы признаем, что для классических множеств наличие пустого множества (ничто) необходимо, позволяя нам делить эти множества на «чистые» дизъюнктивные части и проводить с ними другие операции, то ультрафильтр очевидным образом неполон: в операциях с ним используется сущность, которая ему не принадлежит. Мозг может иметь точку разрыва в своем ПС только как смерть по определению. Пустая дхарма (ничто) заполняет все такие точки разрыва в нем. Отсутствие информации для самосознания – тоже информация. Мы видим пустоту и слышим тишину, которые по смыслу есть отсутствие какой-либо физической экзистенции, информационный нуль.

Мы говорим, что два множества А и В не пересекаются, поскольку у них нет общих элементов: . Но для мозга пустое множество и есть их общий элемент. В этом экзистенциальность ничто. Но поэтому же мозг допускает противоречия (как альтернативу своей смерти). Будь мозг однозначным логиком, ложь была бы для него смертельна. Непротиворечивость формально всегда является ограничением мысленной вседозволенности, выведением лжи за скобки дедукции. Таким ограничением так или иначе становится исключение ничто. Здесь можно провести простую аналогию: в КМ измеряемая система может быть сколь угодно большой, вплоть до Вселенной, но вне нее всегда должно оставаться место прибору. Предметом эксперимента не может быть сам эксперимент. Инструмент не должен принадлежать области исследования, но оставаться независимым от объекта исследовании.

Рассмотрим теорему Геделя о неполноте формализованной арифметики Т(А) на базе набора аксиом Пеано [39]. В теореме указывается процедура однозначной нумерации выразимых в Т(А) формул, а затем с помощью подстановки в некую формулу ее собственного номера в качестве переменной получается утверждение, которое в принятой интерпретации выражает собственную невыводимость. Она является аналогом логического парадокса, в котором оказывается человек, включающий самого себя в область проводимой им оценки внешнего мира и утверждающий: «То, что я говорю, - ложь». Понятно, что теория, которая допускает такую формулу, вступает в противоречие с собою. Следовательно, при условии, что она непротиворечива, теория должна быть неполна: иметь в себе нечто такое, что она не может доказать и не может опровергнуть.

Вскоре подобный результат был получен для класса рекурсивных функций F(х), лежащих в основе понятия «алгоритм» [40]. А именно показывалось, что сам этот класс не может быть перечислен некой рекурсивной (диагональной) функцией , которая определяется по значению каждой функции в их пересчете, когда номер и переменная совпадают. Эта функция рекурсивна. Следовательно, она тоже должна иметь номер. Метод Кантора позволяет получить для нее в результате подстановки ее собственного номера n в общем пересчете на место переменной неоднозначность:

       (9.5)

Модификация этого результата давала теорему Тарского о невыразимости в формальной теории Т(А) понятия «истинность», ассоциированного с функций D(х), которая по смыслу должна вычислять все истинные высказывания в Т(А). Эти результаты традиционно понимаются в смысле Канторовского континуума: как несчетность класса рекурсивных функций, в котором счетность есть синоним порядка. Следовательно, несчетность нарушает дедукцию (порядок), как это отражено в леммах 3 и 5. В лемме 4 связываются воедино релятивизм, дискретность и причинность. Теперь леммой 10 мы присоединяем к ним и дедуктивность. Именно это делает нашу логику адекватной детерминизму. Отсюда выводится неполнота той или иной теории. Учитывая все, что говорилось ранее, эта неполнота в нашем понимании лежит на поверхности:

Теорема (о сингулярности). Для причинных (дискретных) множеств требование полного локального порядка (отделимости) приводит к сингулярности (противоречию).

Практическим подтверждением теоремы является экспериментально установленный принцип неопределенности в КМ и вытекающий из него эфирный ЭПР-парадокс. В математическом анализе функция, взятая как причинное множество, имеет явные сингулярности в виде точек разрыва. Что касается класса всюду непрерывных функций, то они непрерывны лишь в той мере, в какой признается непрерывным континуум. В рамках нашего понимания нуля как сингулярности (абсолютного покоя), можно сказать, что последовательное дифференцирование любой гладкой функции приведет явным образом к ее аннигиляции, т.е. ее динамику всегда можно свести к световой точке покоя. К классу световых точек относятся и все экстремальные точки функции, соответствующие ее нулевому значению, поскольку координатные шкалы есть световые. Собственно, любое мыслимое мозгом пространство, как это уже сказано про пространство Минковского, есть совокупность световых точек (пустых дхарм).

Теорема о сингулярности содержит целый класс типовых, предельных теорем. Достаточно ассоциировать счетность не только с порядком и причинностью , но и с принадлежностью , со световым конусом в пространстве Минковского или инфимумом в ПС. Например, ее можно считать эквивалентной аксиоме ограничения в ZF и NBG, которая гласит, что всякое непустое множество содержит элемент, не имеющий с ним общих элементов [3]:

(9.6)

В теории множеств показывается, что эта аксиома равносильна аксиоме выбора АС, лемме Цорна и требует полного порядка. Последнее выглядит странным, если не осознается фоновая зависимость самосознания. По сути аксиома ограничения утверждает именно это: существование пустого множества (сингулярности), которое присутствует в любом множестве как независимый фон и при этом необходимо оказывается его собственным элементом. Нарушение причинности лучше всего просматривается в еще одной тождественной аксиоме – так называемой трихотомии, выраженной нами ранее в виде аксиомы (3.1), требующей детерминизма, который мы предписываем континууму С и на котором Кантор выстраивал доказательство его несчетности, т.е. по сути – его неупорядоченности.

Интереснее всего физическая интерпретация очень спорной в математике АС. Она гласит, что мы можем выбрать любую точку в прошлом или будущем на стреле времени. Но мы не можем однозначно локализовать настоящее. Иначе говоря: в любом имеющемся множестве можно непротиворечиво выбрать любой элемент, но невозможно выбрать само ничто, ибо «ничто» и есть противоречие. Т.о. континуум-гипотеза Кантора, полностью основанная на этой аксиоме, ложна, как и предполагал Коэн. Мы вправе считать, что 1 проблема Гильберта решается в отрицательном смысле.

Закономерно, что простым логическим следствием АС является аксиома основания (foundation axiom), запрещающая существование бесконечных убывающих -цепей принадлежности в транзитивных множествах. Транзитивные множества представляются решетками, а решетки могут быть интерпретированы как причинные множества. Т.о. -цепи можно связать с рядами Тейлора и с сингулярными геодезическими в пространстве Минковского, т.е. с классом канонических накрытий континуума . Каждая такая цепь должна кончаться в сингулярности

Этот инфимум лежит в основании любой мысленной конструкции. Ее непротиворечивость порождает фильтр, делая явным инородность сингулярности. Вывод, который является обобщением теорем Геделя и Тарского, очевиден:

Следствие (о неполноте). Непротиворечивым ограничением причинных множеств является ультрафильтр.

Определим частичный порядок на ультрафильтре U как. Тогда U-решетка может быть интерпретирована как непротиворечивое причинное множество, где два любых события совместимы, так как у них есть, по крайней мере, одна общая причина в ретроспективном анализе: . Поскольку мы надеемся, что реальность дедуктивна и непротиворечива, то Вселенная, взятая формально (а как еще можно ее взять?), должна быть ультрафильтром U в дополнение к тому, что она является световым супергиперболоидом ∇ в пространстве Минковского. При этом и сам U не принадлежат U. Хотя дальнейшее и не следует из строгого формализма, мы вправе считать, что максимальная причинная физическая цепь начинается именно с , которое выступает как сингулярность. Непротиворечивость (локальность) обеспечивается неопределенностью, покрывающей эту световую точку.

В сущности, можно сказать, что для мозга вообще все мысленные совокупности дхарм являются «фильтрами» над пустой дхармой (ничто), т.е. все возможные множества разворачиваются из пустого множества. Именно поэтому никакая мысленная операция над множествами не приводит мозг к смерти, но дает ему по крайней мере ничто. В соответствующих интерпретациях это ничто выглядит как противоречие (ложь). В самом общем смысле спасением от противоречия оказывается новый ультрафильтр, теперь уже в корректном математическом смысле. Но за пределами ультрафильтра оказывается то, что необходимо множеству (теории), но не принадлежит ему. Отсюда вытекает и релятивизм с недостижимой скоростью света, и квантовая механика с принципом неопределенности, и ЭПР-парадокс с мгновенными корреляциями. Самосознание всегда находится внутри светового конуса, в своем локальном, причинном мире. Приближаясь к границам этого квантового, дискретного мира, оно получает принцип неопределенности, который естественным образом отделяет релятивистский мир от абсолютного покоя.