Каждый элемент квадратной матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца). Тензоры не обязаны быть квадратными: индексов может быть сколько угодно, но их значения связаны с размерностью конкретного многообразия[22].
Вектор — это тензор с одним индексом. Мы рисуем векторы в виде куда-то направленных стрелок какой-то длины. Но выбрав систему координат, например (x, y, z), мы можем выразить вектор как сумму компонентов, направленных вдоль осей этой системы:
![]()
(7.15)
В отличие от вектора матрица — тензор с двумя индексами, а функция — тензор без индексов (с нулевым их количеством). Индексов может быть больше двух. Записать такой тензор в виде массива элементов непросто, но можно. Было бы желание. Например, можно представить трехиндексный тензор как вектор двухиндексных тензоров:
![]()
(7.16)
Не знаю, зачем это может понадобиться, но это вполне допустимо. И все же, когда число индексов больше двух, проще думать об отдельных элементах, а не о том, как выглядит какой-то гигантский массив.
Второй способ определить тензор — представить его в виде отображения одного набора тензоров на другой тензор. Замкнутый круг? Что делать, все взаимосвязано. Например, если у нас есть два вектора, νi и wj, мы можем подставить их в матрицу и вывести численное значение. Метрический тензор работает как черный ящик: на вход поступают два вектора, а на выходе получается число.
![]()
Чтобы получить это число, необходимо подставить соответствующие элементы векторов в матрицу, а затем последовательно сложить полученные значения, перебирая значения верхних и нижних индексов:
![]()
(7.17)
Это выражение широко известно, по крайней мере среди людей, кто часто сталкивается с векторами. Мы говорим о скалярном, или внутреннем, произведении двух векторов:
![]()
(7.18)
В обычном евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Если векторы направлены в одну сторону, оно равно произведению их длин, а если в противоположные — всегда равно нулю.
Мы только что открыли маленький секрет: метрика не только позволяет вычислить длину кривой, но и определяет, что такое «перпендикуляр». Если две линии пересекаются, а скалярное произведение векторов, касательных к ним в точке пересечения, равно нулю, такие линии считаются перпендикулярными. Вот вам пример того, что метрика содержит в себе все данные о геометрии пространства.
Вы заметили, что индексы записываются то надстрочными (как у векторов и координат), то подстрочными знаками (как у метрик)? Так делается не по чьей-то странной прихоти. Верхние и нижние индексы имеют важные отличия. Сейчас нам достаточно знать лишь то, что суммирование по индексам, как в выражении (7.17), допустимо лишь при условии, что один и тот же индекс представлен и в верхнем, и в нижнем вариантах. Индексы, по которым идет суммирование, называются «немыми», а все остальные — «свободными». Свободные индексы могут иметь любые, но одинаковые во всех слагаемых значения, немые не имеют «значения», но лишь показывают, что нужно «сложить все возможные элементы с соответствующим индексом».
Суммирование по немым индексам настолько часто используется в тензорном исчислении, что Эйнштейн придумал, как упростить запись формул. Это изобретение называется правилом Эйнштейна и заключается в том, что если в формуле тензора либо произведения тензоров один и тот же индекс используется и в верхнем, и в нижнем вариантах, мы можем опустить знак суммы. Например:
![]()
(7.19)
Эйнштейн был настолько доволен своим правилом, что как-то сказал одному из друзей: «Я сделал великое математическое открытие!» Для общей теории относительности суммирование по немым индексам — чрезвычайно важная операция, поэтому правило Эйнштейна помогает нам сберечь немало времени.
Параллельный перенос
Огромная заслуга Римана в том, что предложенная им метрика многообразия действительно содержит все данные о его кривизне и геометрических свойствах. Настало время подумать о том, как извлечь эти данные. Мы начнем с разговора о том, как можно переместить вектор из одной точки в другую. На этот процесс не может не влиять кривизна. К сожалению, нам придется сильно усложнить математические формулы. Поэтому мы остановимся только на самых важных моментах, а всех интересующихся деталями я адресую за ними в приложение Б.
Представьте, что вы находитесь в какой-то точке искривленного многообразия и держите в руках вектор. Пусть, например, это будет вращающийся гироскоп, ось которого сориентирована в каком-то пространственном направлении. На некотором расстоянии от вас стоит другой человек, у которого тоже есть вектор. Нужно сравнить эти векторы: по направлению, по длине и т. д. Как это сделать?
В привычном нам плоском пространстве нет ничего проще. Нужно подойти к этому человеку, продолжая держать вектор и не меняя его направления, а затем приложить два вектора друг к другу. Но что значит «не меняя направления»? Один из вариантов — построить традиционную декартову систему координат и сохранить все компоненты вектора неизменными. Тогда мы сможем без всяких проблем таскать его с места на место.
![]()
Но вот беда: такой подход не работает в неплоских геометриях. В них нет «декартовых систем координат», в основе которых лежит плоская метрика. Но может быть, эта проблема чисто техническая, и можно найти какой-то эквивалент сохранения направления вектора при переносе?
Действительно можно. Параллельный перенос — это процесс, в ходе которого вектор, исходящий из какой-то точки, перемещается по определенной траектории, оставаясь параллельным себе самому в предыдущем положении. (Как вы, возможно, догадались, последовательные положения будут отстоять друг от друга на бесконечно малое расстояние, а значит, тянуть вектор мы будем не без помощи высшей математики.)
Какую же траекторию выбрать? В плоском пространстве не только хорошо понятно, как сохранить направление вектора, но и не важно, каким путем при этом двигаться. В произвольном искривленном пространстве это не так. Мы можем убедиться в этом, если рассмотрим параллельный перенос по двумерной сфере.
Допустим, вектор начинается в какой-то точке на экваторе и направлен на север. Направимся к северному полюсу, сохраняя вектор неподвижным. Это несложно сделать, ведь вектор будет все время направлен по касательной к траектории. Теперь представим себе другой сценарий. Сначала мы пройдем какое-то расстояние вдоль экватора, а затем повернем к полюсу.
![]()
Сравнив два принесенных на полюс вектора, мы увидим, что они направлены в разные стороны. А ведь мы так старались держать их, не изменяя направление. Такого бы никогда не случилось на плоскости, на сфере же неизбежно: параллельный перенос вектора по разным траекториям приведет к разным результатам. Но как мы увидим немного позже, этот неудачный опыт позволит нам четко определить, что понимается под словом «кривизна». (Обратите внимание: мы переносим вектор, находясь на сфере, а не глядя на нее из окружающего пространства.)
Мы столкнулись с важной и порой неочевидной особенностью искривленного пространства (или пространства-времени): не существует универсального способа, позволяющего сравнить векторы, находящиеся в разных точках. Мы можем переместить вектор, не изменяя его положения относительно траектории, но результат будет зависеть от нашего выбора: другая траектория может дать совершенно иной результат. Вот почему мы не можем, к примеру, судить о «скоростях» далеких галактик в расширяющейся Вселенной. Да, мы все пытаемся их измерить, однако непроизвольно делаем выбор в пользу какого-то определенного способа сравнения. Это нормально, но мы должны помнить о разнице между тем, что определено четко и точно, а что просто удобно для нас. Примерно о том же мы говорили в главе 6, отправляя близнеца в космос: нужно мыслить локально и сравнивать величины, измеренные в одной и той же точке, а не обманывать себя, пытаясь сопоставить происходящее где-то далеко с тем, что творится рядом с нами.
