![]()
Другое дело поверхности с отрицательной кривизной. Мы, конечно, можем представить себе седло или чипс, но при ближайшем рассмотрении окажется, что у таких объектов из реального мира кривизна хоть и отрицательна, но не постоянна. Есть центральная точка, по мере удаления от которой кривизна постепенно снижается. И как бы ни был умен математик, нельзя органично встроить двумерное пространство с постоянной отрицательной кривизной в трехмерное пространство Евклида.
Вот почему гиперболическая геометрия стала поистине впечатляющим достижением интеллекта. Мы можем записать набор аксиом, определяющих геометрические свойства двумерного пространства с постоянной отрицательной кривизной, которое иногда называют гиперболической плоскостью (в отличие от «плоской» плоскости Евклида). В рамках этой системы мы можем доказывать теоремы, выводить формулы длины окружности и площади круга, искать ответы на любые другие геометрические задачи. Но мы не можем построить такое пространство в реальном мире, где мы живем. Точная гиперболическая плоскость существует только в нашем воображении.
В истории математики гиперболическая геометрия стала огромным теоретическим шагом вперед. Освободившись от самоограничений, связанных с рассмотрением только реально существующих или возможных объектов, ученые смогли изучать любые аксиоматические системы просто ради интереса.
Что касается физиков, то перед ними открылась возможность анализировать внутренние геометрические свойства пространств, отличные от внешних свойств, которыми они обладают как части пространств более обширных. Такое разграничение впервые предложил Карл Фридрих Гаусс, один из величайших математиков всех времен. (Гаусс известен тем, что не спешил записывать результаты своих исследований. Он утверждал, что изобрел гиперболическую геометрию раньше Лобачевского и Бойяи. Даже если и так, никаких публикаций на эту тему у Гаусса нет, а за хорошие, но невысказанные идеи никто, как известно, не хвалит.)
Рассматривая фигуры, нарисованные на столе или же сфере в трехмерном пространстве, мы, разумеется, смотрим на них со стороны. С этой точки зрения «кривизна» говорит нам о том, как фигура сгибается и скручивается внутри большого пространства, в котором она находится. Такая кривизна является внешней.
Однако мы можем подумать о том, как выглядят эти фигуры в глазах воображаемых существ, живущих рядом с ними. Например, они могли бы нарисовать окружность, а затем измерить ее длину. Полученный результат не будет иметь никакого отношения к внешнему пространству, которое даже не обязано существовать. Характеристики, которые можно измерить только изнутри, определяют внутреннюю геометрию пространства.
![]()
Рассмотрим наглядный пример: представим себе двумерный цилиндр в трехмерном пространстве.
![]()
Для нас цилиндр, разумеется, выглядит круглым, но это последствие взгляда со стороны. На самом деле это двумерное пространство, по сути — плоскость. Мы можем проверить это: нарисовать параллельные прямые и посмотреть на них, построить треугольник и сложить его углы, посчитать длину окружности или площадь круга. В каждом из этих случаев внутренняя геометрия цилиндра будет такой же, как и на плоскости.
Мы обратили на это внимание, так как в конечном итоге мы подойдем к разговору о кривизне пространства-времени. Наша вселенная не является частью чего-то большего. По крайней мере, насколько об этом известно нам. Поэтому в рассуждениях о пространстве-времени мы можем опираться только на собственное, внутреннее представление о нем.
Многообразия
Гаусс не только понял различие между внутренней и внешней кривизной, но и впервые изучил случаи, когда она не является постоянной, то есть различна по форме и величине в разных точках пространства. Но когда дело дошло до разработки полноценной теории таких произвольных геометрий, он поручил эту работу своему ученику Бернхарду Риману.
В 1853 году Риман готовился к защите докторской диссертации[20]. Звание доктора наук в Германии необходимо для получения права преподавать в университете. (В своей кандидатской работе Риман впервые использовал комплексные числа для изучения двумерных поверхностей, в докторантуре же много времени посвятил обоснованию интегрального исчисления. Он был амбициозным и продуктивным юношей.)
Говорят, что Риман показал список возможных тем для диссертации Гауссу, и тот, к его удивлению, выбрал из них ту, которая самому Риману казалась наименее интересной: основы геометрии. Получив такое задание, Риман крепко задумался о том, что мы на самом деле понимаем под «геометрией» пространства и о каком «пространстве» мы вообще говорим, учитывая, что сами находимся внутри него. (Перед докладом он скромно сообщил, что «не практиковался в подобных философских изысканиях», хотя доложить-то получилось как нельзя лучше.) В итоге написанная им работа оказала огромное влияние на развитие математики, а сделанные в ней выводы до сих пор лежат в основе общей теории относительности и современного представления о пространстве-времени. К сожалению, ранняя смерть от туберкулеза не позволила Риману продолжить научную деятельность. Кто знает, какие еще открытия он мог бы сделать.
Риман начал свои рассуждения с определения понятия многообразия — бесконечного множества точек, плавно соединяющихся в пространство какой-то определенной размерности. Помните, что при близком рассмотрении любая кривая линия кажется прямой? Множества работают по такому же принципу, но в нескольких измерениях. При достаточном сильном увеличении масштаба любые объекты в искривленном пространстве подчиняются законам геометрии Евклида. Кривизна, которая проявляется на отдалении, определяется тем, как бесконечно малые кусочки плоского пространства соединяются друг с другом в пространстве, окружающем многообразие.
![]()
Важнейшая особенность многообразий заключается в том, что они не обязаны находиться внутри какого-то другого пространства, даже если в нашем представлении это именно так. Изображая двумерное многообразие, например сферу или тор, мы думаем именно о двумерной поверхности, а не о трехмерном теле, форму которого оно принимают. Такое представление — лишь артефакт того, как мы, трехмерные существа, представляем себе окружающие нас вещи. Многообразия имеют четко определенную топологию и геометрию сами по себе. Их следует рассматривать изнутри, а не снаружи.
Обобщая Пифагора
Теперь нам нужно понять, как определить геометрию многообразия, оперируя только внутренними понятиями, которые мы можем измерить с позиции внутреннего же наблюдателя. Как это сделать? Вариантов может быть очень много. Главное — получить такие базовые геометрические величины, на основании которых мы можем вывести любые другие, какие лишь захотим.
Риман предусмотрел способы для определения длин кривых. Не просто каких-то конкретных — любых, какие нам придет в голову нарисовать. А зная длину любой возможной кривой, можно узнать все, что таит в себе геометрия.
Определить длину любой кривой… От постановки такой задачи немудрено опустить руки. Даже простые многообразия вроде сферы и плоскости позволяют построить огромное число разных кривых. К счастью, у нас есть ключ от этого зоопарка: высшая математика. Нам нет нужды выводить формулу для каждой отдельной кривой. Вместо этого мы найдем выражение для длины бесконечно малого ее участка, а затем возьмем от него интеграл.
Чтобы немного облегчить работу воображению, представим себе плоскую двумерную поверхность с декартовыми координатами (x, y). Кто-то нарисовал на ней кривую (как повела рука), нам же необходимо измерить ее бесконечно малый участок ds, выразив его длину через бесконечно малые приращения координат dx и dy. Формулу для такого расчета мы уже знаем: это теорема Пифагора. (Если эти обозначения напомнят вам формулу (6.10), при помощи которой мы находили длину сегмента пространственноподобной траектории в пространстве-времени, не беспокойтесь: буквы просто кочуют из формулы в формулу.)
