К(ω) = Кe-ωt0, (27)
т. е. его модуль должен быть одинаковым для всех передаваемых частот (К(ω) = const), а аргумент – представлять собой линейную функцию частоты (φk(ω) = – ωХ0). Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называют амплитудно-частотной (или просто частотной) характеристикой, а от фазы – фазочастотной (или фазовой) характеристикой.
Наряду с требованиями, предъявляемыми к четырехполюсникам в отношении идеальной передачи полезных сигналов с некоторой шириной спектра Δωсигн,необходимо, чтобы коэффициент передачи четырехполюсника вне желаемой частоты обращался в нуль так как любые сигналы, спектр которых находится вне полосы частот полезного сигнала, являются помехами. Идеальный четырехполюсник должен иметь п-образную частотную характеристику.
У реального четырехполюсника форма характеристики отличается от п-образной. Это приводит к искажению сигнала – тем большему, чем сильнее это отличие. Допустимые искажения сигнала и требования к характеристикам K(ω) и φК(ω) зависят от конкретной системы передачи сигнала. В тракте радиовещательного приемника удовлетворительными принято считать четырехполюсники, для которых в рабочей полосе частот коэффициент передачи меняется менее чем в раз.
12. Фильтрующие свойства последовательного колебательного контура
Последовательный контур изображенный на рис. 4 – пример линейного четырехполюсника, который можно использовать в качестве фильтра.
Рис. 4
Входными зажимами фильтра являются зажимы АА', выходными – ВВ'. Коэффициент передачи такого фильтра:
где R – активное сопротивление контура (сопротивление источника ЭДС не учитывается).
Представим числитель и знаменатель в показательной форме:
откуда модуль и аргумент коэффициента передачи соответственно имеют вид:
(29)
(30)
Выражение – это амплитудно-частотная, а (30) – фазочастотная характеристика фильтра.
Полосу пропускания фильтра определяют из условия, что на границе полосы модуль коэффициента передачи фильтров уменьшается в раз по сравнению с его значением при резонансе, т. е. при ξ = 0. Уравнение для определения полосы пропускания последовательного контура имеет вид:
(31)
где ξ – расстройка, соответствующая граничным частотам фильтра.
Из (31) получим выражение для относительной ξппроп и абсолютной Δfпроп полосы пропускания фильтра:
(32)
При рассмотрении фильтрующих свойств последовательного контура мы пренебрегли внутренним сопротивлением источника ЭДС. В реальной ситуации любой источник сигнала характеризуется некоторой ЭДС и внутренним сопротивлением R. Если источник включается в последовательный контур, полное активное сопротивление контура становится равным R + Rг с учетом Rг, добротность последовательного контура
где – собственная добротность контура.
Из-за больших потерь энергии, возникающих на внутреннем сопротивлении генератора, значительно уменьшается добротность контура, и расширяется полоса пропускания фильтра.
13. Фильтрующие свойства параллельного колебательного контура
Рассмотрим фильтрацию радиосигнала в схеме с параллельным контуром (рис. 5). Импенданс этого контура ZК. Коэффициент передачи четырехполюсника, имеющего входные зажимы АА', выходные ВВ':
(34)
где ξm, Um – комплексные амплитуды ЭДС и напряжения на контуре соответственно.
Рис. 5
Для нахождения K надо предварительно найти импенданс параллельного контура:
(35)
где – импендансы двух параллельных ветвей.
Подставив ZL и ZC в (35), получим:
(36)
В наиболее интересном с практической точки зрения случае, когда частота «близка» к резонансной частоте
контура, выражение (36) можно упростить.
Знаменатель (36) равен импендансу Z последовательного контура, который имеет вид:
Полоса пропускания:
(37)
Эта полоса тем ближе к собственной полосе контура
чем меньше отношение .
При R → 0 полоса пропускания неограниченно возрастает, а контур полностью утрачивает избирательные свойства. При использовании контура – фильтра в радиоустройствах необходимо учитывать влияние на его избирательные свойства не только внутреннего сопротивления источника сигнала, но также сопротивления цепей, являющихся нагрузкой фильтра.
14. Система связанных контуров как полосовой фильтр
Идеальный фильтр должен иметь П-образную частотную характеристику и линейную фазовую характеристику в полосе пропускания. Для решения многих радиотехнических задач необходимы фильтры, частотные характеристики которых в большей степени, чем у одиночного контура, приближаются к идеальным.
В радиодиапазоне при создании таких фильтров используется система нескольких контуров, связанных между собой либо общим магнитным полем (индуктивная связь), либо общим электрическим полем (емкостная связь).
Рис. 6
Рассмотрим случай двух контуров с индуктивной связью (рис. 6). Коэффициент передачи такой схемы:
(38)
где ξm, Im и Um – соответственно комплексные амплитуды ЭДС, силы тока во втором контуре и напряжения в конденсаторе С2.
Амплитуды силы тока в контурах при заданной амплитуде синусоидальной ЭДС:
(40)
где – импедансы первого и второго контура, сопротивления связи.
На основе этого соотношения можно заключить, что вязь со вторым контуром в электрическом отношении эквивалентна включению в первый контур дополнительного сопротивления, называемого вносимым сопротивлением.
Полное эквивалентное сопротивление первого контура при учете связи со вторым можно представить в виде:
Zэкв = Z1 + Zвн
Количественно связь между контурами характеризуют безразмерным параметром:
называемым коэффициентом связи.
15. Прохождение АМ сигналов через полосовой фильтр
При прохождении через фильтр модулированных колебаний меняются соотношения между амплитудами различных спектральных компонентов сигнала.
Амплитуду напряжения некоторого компонента на выходе фильтра можно найти по формуле:
Umвых(ω) = К(ω)Umвх (ω).
Это можно сделать графически. Спектр входного сигнала и амплитудно-частотную характеристику частотно-избирательного фильтра K(ω) изображают в относительных единицах на одном и том же рисунке (рис. 7).
Перемножение ординат обоих графиков дает относительную амплитуду спектральных составляющих на выходе фильтра. За единицу приняты амплитуда несущей частоты и значение K(ωнес).
Рис. 7
На выходе фильтра отношение
меньше, чем на входе, т. к. коэффициент передачи фильтра на боковых частотах меньше, чем на несущей частоте (K(ωбок) < K(ωнес)). Так как отношение
определяет глубину модуляции АМ колебаний, то ее глубина на выходе фильтра оказывается меньше, чем на входе (mввых< mвх). В качестве фильтра используем последовательный колебательный контур, он настраивается на несущую частоту сигнала (ωр = ωнес).
Учитывая, что
Um.нес. вых = К(ωнес)Um.нес. вх, Um.бок. вх = К(ωбок)Um.бок. вх,
получим:
где – расстройка боковой частоты относительно несущей.
mвых < mвх, чем выше добротность фильтра и частота модулирующего сигнала, тем сильнее неравенство. Зависимость mвых от частоты модуляции Ω приводит к частотным искажениям АМ сигнала при его прохождении через фильтр. Для уменьшения частотных искажений фильтр должен иметь амплитудно-частотную характеристику, близкую к П-образной.
