— Обычно ты так не выражаешься, Мистер Тупс.
Думминг сник.
— Извините, сэр. Думаю, что это всё меня совсем доконало.
— Ну, я могу понять почему. — произнёс Чудакулли. — Здесь должен быть богород. Некоторые вещи сами собой не появятся. Вот глаз, например..
Думминг тихонько взвизгнул.
— …это очень просто, — закончил Чудакулли. — Тупс, ты в порядке?
— Эм, да, сэр, в порядке. Все хорошо. Просто, вы говорите?
— Зрение сохраняет тебе жизнь. — пояснил Чудакулли. — Любое зрение это лучше, чем ничего. Понимаю что имел ввиду Дарвин, написавший происхождение. Вам не нужен бог. Но есть, такие осы, которые паразитируют на пауках. если я конечно не говорю о пауках, которые паразитируют на осах. во всяком случае, кто бы там не паразитировал, он подождёт..
— Ага, — радостно произнёс Думминг, — Это там не гонг к завтраку?
— Я ничего не слышал. — ответил Чудакулли.
— Точно вам говорю, — сказал Думминг, направляясь к двери. — Сэр, я, пожалуй, пойду и проверю.
Глава 14. Алеф- N-плекс
Волшебники не только постигают кажущуюся нелепость «квантов», всеобъемлющую фразу всех продвинутых физиков и космологов, но и взрывоопасное философское/математическое понятие бесконечности.
Они открыли для себя (конечно на свой манер) одно из величайших откровений математиков девятнадцатого века: существует множество бесконечностей, и некоторые их могут быть больше чем другие.
Звучит, конечно, нелепо. Тем не менее, не смотря на это совершенно естественное чувство, это оказывается истиной.
В отношении бесконечности следует понять две важные вещи. Вопреки тому, что бесконечность часто сравнивают с числами вроде 1,2,3, бесконечность сама по себе не является числом в традиционном смысле этого слова. Как выразился Думминг Тупс, до неё нельзя досчитать. А вторая важная вещь состоит в том, что даже в самой математике существует множество различных понятий, гордо несущих на себе ярлык «бесконечности». Если вы перепутаете их значения, то получится полная ерунда.
А третья, извините, третья важная вещь это то, что вы должны понимать, что бесконечность зачастую является процессом, а не предмет.
Но — четвёртая важная вещь — математики имеют привычку превращать процессы в предметы.
И пятая (всё в порядке, их пять) важная вещь — один вид бесконечности является числом, хотя и несколько не в традиционном смысле этого слова.
Так же как противостоят ей математики, волшебники противостоят физике. Является ли вселенная Круглого Мира конечной или бесконечной? Верно ли, что в любой бесконечной вселенной содержится не только всё то, что может произойти, но и то что должно? Может ли существовать бесконечная вселенная состоящая исключительно из стульев. неподвижная, низменная и дико неинтересная? Мир бесконечности парадоксален, или так кажется на первый взгляд, но мы не должны позволить кажущемся парадоксам вас запугать. Если мы сохраним ясную голову, то сможем направить наш путь сквозь парадоксы и превратить бесконечность в надёжного помощника мышлению.
Философы обычно различают два различных вида бесконечности — «актуальную» и «потенциальную». Актуальная бесконечность представляет собой нечто бесконечно большое и непроизносимое, что до недавнего времени пользовалась дурной славой. Более солидный вид бесконечности — потенциальная, которая возникает когда всякий раз даёт нам понять, что может продолжаться сколь угодно долго. Самый основной процесс такого вида это счёт: 1,2,3,4,5.. Можем ли мы дойти до «наибольшего возможного числа» и остановиться? Дети часто задают такой вопрос и сначала думают, что самое большое число которое они знают, это и есть самое большое число. Какое-то время они думают, что это шесть, потом что — сто, а потом — тысяча. Вскоре они понимают, что если вы можете досчитать до тысячи, то тысяча и один — это только первый шажок вперёд.
В своей книге 1949 года «Математика и воображение» Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман представили миру гугл — число, которое содержит сотню нулей. Имейте ввиду, что миллиард содержит только девять нулей: 1000000000.
А гугл настолько большой, что занимает две строки: 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Имя было придумано девятилетним племянником Каснера и стало идеей для интернет-поисковика.
Даже при том, что гугл довольно большое число, он определённо не бесконечен. Легко написать ещё большее число:
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
Просто добавьте единицу. Ещё более захватывающий способ найти ещё большее число чем гугл это создать гуглплекс (имя так же любезно предоставлено племянником), которое является единицей с гуглом нулей. Даже не пытайтесь его записать: вселенная так мала, (если конечно вы не будете использовать шрифт субатомного размера), и её жизнь так коротка (не говоря уже о вашей).
Хотя гуглплекс довольно крупное число, он по прежнему является довольно определённым числом. В нём нет ничего странного. Он определенно оно не бесконечно (всегда можно добавить единицу). Однако для большинства целей оно достаточно большое, включая и большинства чисел, которые становятся астрономическими. Каснер и Ньюман заметили что «как только люди начинают говорить о крупных числах, они впадают в неистовство. И кажется находятся под впечатлением о том, что раз ноль не равен ничему, то его можно приписать к любому числу сколь угодно раз без каких-либо последствий». Эту фразу мог произнести сам Наверн Чудакулли. В качестве примера они сообщают, что в конце 40-ых годов выдающаяся научная публикация объявила, что число снежных кристаллов необходимых для того чтобы начать ледниковый период это миллиард в миллиардной степени. Это, говорят они, очень поразительно и очень глупо. Миллиард в миллиардной степени это единица с 9 миллиардами нулей. Нормальное число составляет единицу с 30 нолями, что фантастически меньше, хотя по прежнему больше чем состояние банковского счёта Билла Гейтса.
Какой бы не была бесконечность это не обычный «счёт». Если бы самым большим числом было бы энное количество газилионов, тогда то же самое энное количество газилионов и один было бы больше. И даже если всё усложнить, так что к примеру самым большим числом было бы энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят восемь, тогда энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят девять всё равно было бы больше.
Мы можете добавить к любому числу единицу и получить число, которое (хотя немного, но отличимо) больше.
Процесс счёта остановиться если вы перестанете дышать, он не закончится от того, что у вас кончатся цифры. Хотя возможно кто-нибудь бессмертный может исчерпать пространство вселенной в которой будет записывать числа или время, чтобы произнесли их все.
Если вкратце: существует бесконечное множество чисел.
Замечательный факт в этом утверждении состоит в том, что нет числа под названием «бесконечность», которое больше чем все остальные. Совсем наоборот: дело в том, что нет самого большого числа. Так что, хоть процесс счёта в принципе может продолжаться вечно, число, до которого вы добрались на каждом определённом этапе, является конечным. «Конечный» означает, что вы можете досчитать до этого числа и остановиться.
Как сказали бы философы: подсчёт это пример потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длится вечно (или по крайней мере, так кажется нашим наивным умам), но никогда не достигнет «вечности».
Развитие новых математических идей обычно происходит согласно модели. Если бы математики строили дом, они начали бы со стен нижнего этажа парящих на высоте фута над влагостойким покрытием или там где это покрытие должно быть. Там не было бы дверей и окон, а просто отверстия правильной формы. Со временем добавился бы второй этаж, качество кладки замечательно бы улучшилось, стены внутри были бы отштукатурены, все двери и окна были бы на своих местах, а пол был бы достаточно прочным, чтобы по нему можно было пройти, не провалившись. Третий этаж был бы огромным, сложным, полностью покрытым коврами, на стенах висели бы картины, в комнатах было бы огромное количество мебели впечатляющего не совместимого друг с другом дизайна, в каждой комнате было бы шесть различных видов обоев… Чердак напротив был бы скромен, но элегантен — минималистичный дизайн, ничего лишнего и всё на своих местах. Тогда и только тогда они вернуться к нижнему этажу, выкопают фундамент, зальют его бетоном, проложат водонепроницаемый слой и будут достраивать стены вниз пока не дойдут до фундамента.
В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.
