И в самом начале этой книги, и несколькими абзацами выше я упоминал одну из самых плодотворных и далеко идущих теорий Вселенной, теорию объяснения эволюции естественным отбором. Эта теория не является внутренне математической – она не выражается формулами. Тем не менее она обладает огромным могуществом и, возможно, применима повсюду во Вселенной, где есть что-то, что можно определить как жизнь. Ее даже пытаются применить к возникновению не просто новых видов живых существ, но целых новых вселенных. Грубое, но попадающее в точку выражение Герберта Спенсера
«выживает наиболее приспособленный» можно считать вербальной аппроксимацией закона природы. Но когда эта теория получает математическое развитие, например, в моделях популяционной динамики, – я еще вернусь к этому вопросу чуть ниже, – качественная ее версия неизмеримо обогащается тем, что теперь из нее можно делать количественные предсказания.
Биология в целом, возможно, представляет собой область, с первого взгляда не слишком удобную для математического описания. Эта сфера человеческого знания оставалась в основном уделом «прогулок по экологическим тропам» до 1953 года, когда Уотсон и Крик установили структуру ДНК. Это почти мгновенно превратило биологию в часть химии, введя ее, таким образом, в круг физических наук и наделив ее всей связанной с этим мощью. Тем не менее трудно указать какие-либо специфически математические биологические законы, кроме (если вернуться к ДНК) тех, что связаны с кодированием наследственности. Но есть и множество разнообразных примеров, иллюстрирующих возможности прямого применения математики в биологии: например, анализ популяций хищников в зависимости от условий доступа к добыче и в определенном смысле построенные на этом методы разработки сельскохозяйственных и рыболовецких стратегий. Для организмов типичны всевозможные периодические явления, – вспомним хоть о себе, о нашем дыхании и бьющихся сердцах, о более медленных циркадных (суточных) ритмах. Такие осцилляции – благодарная почва для математического описания. Другая подобная сфера – волны: волны разности количества зараженных и незараженных людей во время эпидемий, или волны разностей электрического потенциала при распространении сигналов вдоль нервных окончаний, когда мы думаем или действуем, или волны мышечной активности в теле рыбы, бьющейся в наших руках (даже обезглавленной) или изгибающейся при плавании во встречных струях воды. Все это – аспекты биологии, которые могут быть математически формализованы.
Блестящий, но павший трагической жертвой гомофобии Алан Тьюринг (1912–1954) был, возможно, первым, кто опроверг Эзопа (примерно 629–565 до н. э., если он вообще существовал, – по слухам, он был невероятно безобразным) и показал, что математический анализ волн распространения химикатов сквозь стенки контейнеров различной формы – например, в форме леопарда – объясняет и узоры на звериных шкурах – пятна у леопарда, полосы у зебры, крапчатый узор на шкуре жирафа, – и затейливую красоту крылышек бабочки. И даже слоновий хобот, – как показывают математические законы, выраженные уравнениями и их решениями, – возник благодаря тому, что сквозь слоновий эмбрион на ранней стадии его развития прошла волна химических соединений [69].
Социология, этот усложненный вариант биологии в применении к человеческой популяции (хотя для моделирования последней иногда использовались крысы), появилась в конце XVIII столетия; слово это в 1780 году пустил в оборот Эммануэль-Жозеф Сийес (1748–1836), но сама дисциплина созрела только к концу XIX века, а свою математическую структуру приобрела в XX веке, когда сложные статистические модели стали численно исследовать на компьютерах. Хотя начальным толчком для нее было желание выяснить законы человеческого поведения, главными достижениями этой науки стало развитие статистических методов анализа, а иногда и предсказания наиболее вероятного или среднего поведения популяций индивидов. Такое статистическое моделирование имеет большое значение для успешного управления и руководства обществами, но никаких фундаментальных законов, отличающихся от тех, что были присущи самой статистике (таких, как колоколообразное распределение случайных переменных), оно не породило, несмотря на то, что все с нетерпением ждали их открытия.
Теология, исследование по природе своей неуловимого и непостижимого божества, научная версия поисков улыбки Чеширского Кота, в математике не нуждается. Не нужна она, конечно, и другим, гораздо более позитивным созданиям человеческого разума, таким как поэзия, искусство и литература, которые так расширяют границы обыденного захватывающими, а подчас и отталкивающими фантазиями. Статистика составляет исключение, – хоть она и помогает, например, отличить Марло от Шекспира. Музыка находится на границе раздела – она, возможно, является введением в научную эстетику, в которой математические прозрения могут оказаться бесценными для анализа гармоний и нотных последовательностей и их связей с возможными резонансными контурами в мозге.
Но здесь мне пора немного сбавить тон. При всем разнообразии приложений математики сами по себе они не порождают законов. Не считая численного анализа данных, которым занимается статистика, в каждом отдельном случае, как мне представляется, математическая составляющая сводится к анализу модели. Это вовсе не то, чем являются фундаментальные законы природы, – это формулирование сложного взаиморасположения фундаментальных физических законов. В результате получаются даже не «внезаконы», а вылазки организованных банд «внезаконов».
* * *
На простейшем и наиболее очевидном уровне польза математики заключается в том, что она обеспечивает объективный и в высшей степени рациональный способ представления следствий уравнения, которое выражает какой-либо закон в символической форме. Следовательно, невозможно сделать надежные предсказания из не-математического утверждения, такого как «выживает наиболее приспособленный», или предсказать, например, что примитивные сочетания элементов в свое время разовьются в слонов. И наоборот, надежные предсказания могут быть сделаны из математического утверждения; например, из закона Гука, в соответствии с которым возвращающая сила пропорциональна смещению (вербализация уравнения F = —kfx), следует, что период колебаний маятника можно точно предсказать, зная его длину.
«Это хаос», – вскричите вы. Верно, конечно, что развитие определенных систем оказывается непредсказуемым, но эту непредсказуемость следует интерпретировать с осторожностью. Возьмем простой случай системы, демонстрирующей хаотическое поведение, – «двойной маятник», в котором один маятник подвешен на конце другого, и оба качаются в соответствии с законом Гука. В этом случае мы как будто можем решить уравнения движения маятников и, при условии, что точно известны исходные углы их отклонений, точно предсказать углы их отклонения в любой момент будущего. Ключевая фраза здесь «при условии, что точно известны исходные углы их отклонений» – ведь даже бесконечно малая неточность в начальных значениях углов приводит к совершенно различному последующему поведению. Хаотическая система – не то же самое, что система с беспорядочным поведением; это система с очень высокой чувствительностью к начальным условиям, настолько высокой, что для всех практических целей ее последующее поведение непредсказуемо. Только идеально точное знание начального положения (в отсутствие внешних возмущений, таких как трение и сопротивление воздуха) приводит к идеально предсказуемому поведению.
Одним из следствий этой внутренней практической невозможности достичь совпадения предсказания и наблюдения
