55
23. Заметим, что булеву алгебру можно сформулировать и на основе отношения ≤ (или ≥). См: X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969.
56
24. Для этого имеются и другие причины. Дело в том, что в алгебре логики Буля можно определить операцию дизъюнкции, и тогда все равенства, верные в логике высказываний как булевой алгебре, будут верными и в теории Буля; с другой стороны, в рассмотренной нами теории можно определить строгую дизъюнкцию (например, так:
(А V B)≝((A & ~В) V (~А & В)), и тогда теория Буля может быть пред. ставлена как теория булевой алгебры (в узком смысле).
57
25. Понятие формы класса (классовой формы) следует понимать по аналогии с понятием «форма высказывания».
57
26. Ср. примечание 14.
58
27. Заметим, что при проверке схем аксиом, в каждой из которых фигурирует по две формы классов, следует учитывать возможные отношения между двумя произвольными классами а и β. Таких отношений может быть пять: классы а и β совпадают; класс а полностью входит в класс β, причем в β имеются элементы, не принадлежащие а; то же отношение, но с заменой а на β и наоборот; классы а и β имеют общие элементы, причем в а есть элементы, не принадлежащие классу β, и в β есть элементы, не принадлежащие а; классы а и β не имеют общих элементов. Эти отношения можно передать следующими схемами (рис. 7). Проверяя равенство, нужно убедиться в его справедливости при каждом из этих отношений.
59
28. Абстрактное понятие булевой алгебры есть достижение середины нашего века, в то время как его спецификации — на классах и высказываниях — восходят к логикам прошлого века. Применению аппарата булевой алгебры к исследованию релейно-контактных схем начало положили в 1935—1938 гг. В. И. Шестаков, А. Никасима и К. Шеннон, один из создателей кибернетики (см. его статью «Символический анализ релейных и переключательных схем», в русском переводе опубликованную в кн.: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963). «Приоритет в применении аппарата математической логики к вопросам электротехники (связанным с построением релейно-контактных схем), — отмечает С. А. Яновская, принадлежит... В. И. Шестакову, работа которого «Алгебра релейно-контактных схем»... написанная еще в январе 1935г., к сожалению, не была своевременно опубликована, хотя и легла в основу его кандидатской диссертации» (Послесловие редакции в кн: А. Тарекии. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948. с. 320).
60
1. Эти — и другие — высказывания выдающихся мыслителей о математике см. в кн.: Е. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y. 1962, XV—XVII.
61
2. См. об этом в кн.: В. Н. Молодший. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969, ч. II, гл. 2.
62
3. Конечную дробь, то есть (периодическую) дробь с «хвостом» из одних нулей (например, 3,14000...) при этом заменяют бесконечной периодической дробью с девяткой в периоде (в нашем примере— дробью 3,13999...).
63
4. Если действительное число есть рациональное число, то есть если десятичная дробь является периодической, то с бесконечностью можно «справиться» тривиальным способом, рассматривая число как дробь p/q, где p и q — целые числа, а q отлично от нуля.
64
5. E. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y., 1962. p. 431.
65
6. С теорией Дедекинда можно подробнее познакомиться по изложению автора. См.: Р. Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат. Казань, 1905.
7. См. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1. М., 1960, с. 17.
66
8. Априори возможен еще случай, когда в левом классе есть наибольшее число, а в правом — наименьшее. Однако нетрудно показать, что такой случай противоречит свойствам сечения.
67
9. См. об этом подробнее в кн. В. Н. Молодшего, указанной в примечании 2.
68
10. Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, с. 56.
69
11. Цитируется по кн.: Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. с. 29.
70
12. См. об этом в кн.: История математики. Т. 1. М., 1970, с. 292 и далее.
71
13. См. статью Л. Кальмара, указанную в примечании 13 к гл.1, е.188,
72
14. С основными идеями Г. Кантора можно ознакомиться по трем его работам, имеющимся в русском переводе (опубликованы в издании:
Новые идеи в математике. Вып. 6. Спб, 1914).
73
15. С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957, с. 14.
74
16. Этот результат был в определенном смысле обобщением следующего свойства конечных множеств. Пусть дано, скажем, множество из трех элементов М = {а, b, с}. Помимо пустого множества, по определению входящего во всякое множество, и самого множества M, входящего в самое себя, в нем содержатся следующие подмножества: {а}, {b}, {с} {а, b}, {а, с}, {b, с}; таким образом, множество всех подмножеств множества из трех элементов содержит 8, или 23 элементов. Легко доказать, что если исходное множество содержит n элементов, то множество всех его подмножеств будет содержать 2n элементов. Поэтому в случае конечных множеств количественное превосходство производного множества над исходным очевидно. Но когда речь идет о бесконечных множествах, вопрос становится не таким просты»: Кантор доказал, что и в этом случае производное множество превзойдет исходное; правда, здесь уже нельзя будет сказать, что в нем окажется больше элементов — и там и там их бесконечно много, а следует говорить, что оно обладает большей мощностью. Термин «мощность» Кантор определил математически строго. См. гл. I книги С. К. Клини, указанной в примечании 15.
75
17. G. Frege. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879; G. Frege. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschrift lich abgeleitet. Bd. I, Jena, 1893; Bd. II, Jena, 1902:
Общую характеристику вклада Фреге в логику и основания математики см. в статье Б. В. Бирюкова «О работах Фреге по философским вопросам математики», помещенной в сборнике «Философские вопросы естествознания», вып. 2, [М], 1959.
76
18. В рассмотренном нами в гл. 3 исчислении равенств это были знаки → и ≡.
77
19. При этом в интерпретациях этого исчисления — если не иметь в виду интуиционистскую и подобные ей «неклассические» логики, о которых пойдет речь ниже, присутствуют булевы алгебры.
78
20. В построении самого Фреге фигурировали не схемы аксиом, а конкретные аксиомы, в связи с чем в числе постулатов имелось еще одно правило вывода — так называемое правило подстановки. Однако мы следуем его системе лишь в самых общих- чертах. Заметим, что символика Фреге резко отличалась от обычной линейной логической и математической символики. Она носила «рисунчатый» характер и не привилась.
79
21. Используя «родство» эквиваленции (которую без труда можно ввести в исчисление Фреге) с отношением равенства и согласовав выразительные средства этого исчисления со-средствами описанного в гл. 3 исчисления равенств (равносилъноетей) формул, можно показать, что эти исчисления в определенном смысле переводимы друг в друга — имеют одинаковую дедуктивную силу.
80
22. Ниже излагается лишь общая идея фрегевского определения натуральных чисел. Полностью изложить его подход здесь, разумеется, не представляется возможным.
81
23. Об определении натуральных чисел как конечных кардинальных чисел (по Кантору) см., например: Н. Бурбаки. Теория множеств. М., 1965, с. 197 и далее.
81
24. J. van Heienoort. From Frege to Godel. A Source Book in Mathematical Logic. Cambridge (Mass.), 1967, p. 124—125.
82
25. Под идеографией Рассел имеет в виду логическую символику.
83
26. В теории Фреге предикаты рассматривались как частный случай функций, а именно, как функции, принимающие в качестве своих значений значения «истинно» и «ложно». Эта точка зрения на предикаты общепринята и в настоящее время при содержательном исследовании закономерностей «мира свойств и отношений».
84
27. Имеется в виду книга Б; Рассела «Принципы математики», которая вышла два года спустя(В. Russell. The Principles of Mathematics. Cambridge (Engl.), 1993).
85
28. Этими словами начинается послесловие Фреге ко второму тому «Основных законов арифметики» (с. 253).
86
29. X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969, с. 32.
87
30. См. L. Kreiser. Geschichte und logisch-semantische Probleme des wissenschaftlichen Werkes Fregess. In: G. Frege. Schriften zur Logik. Aus dem Nachlaβ. Berlin. 1973.
88
31. Это стало известно после опубликования первого тома научного наследства Фреге: G. Frege. Nachgelassene Schriften. Bd. I. Hamburg, 1969. В рецензии на эту книгу, написанной Б. В. Бирюковым и Н. Н. Нуцубидзе и помещенной в издании «Новые книги за рубежом по общественным наукам», 1974, 6, читатель найдет рассказ об эволюции взглядов Фреге под конец жизни и о судьбе его научного наследия, в известном смысле разделившего научную трагедию Фреге.
