88
31. Это стало известно после опубликования первого тома научного наследства Фреге: G. Frege. Nachgelassene Schriften. Bd. I. Hamburg, 1969. В рецензии на эту книгу, написанной Б. В. Бирюковым и Н. Н. Нуцубидзе и помещенной в издании «Новые книги за рубежом по общественным наукам», 1974, 6, читатель найдет рассказ об эволюции взглядов Фреге под конец жизни и о судьбе его научного наследия, в известном смысле разделившего научную трагедию Фреге.
89
32. Это была известная «теория тинов», разработанная Расселом еще до публикации «Principia Mathematica». О теории типов см. книгу С. К. Клини, указанную в примечании 15.
90
33. Следует вместе с тем заметить, что труд А. Н. Уайтхеда и Б. Рассела (A. N. Whitehead, B. Russell. Principia Mathematica. Vol. I, 1910; vol. II, 1912; vol, III, 1913, Cambridge, Engl.) явился важной: вехой в развитии математической логики и оснований математики. От него в знаяительной мере отправляются последующие работы в этой области, в частности исследования К. Гёделя (см. ниже).
91
1. Развертывание своей философско-матемагической платформы Брауэр начал со статьи «Недостоверность логических принципов», опубликованной в 1908 г. на голландском языке. Хорошее представление о взглядах Браузра дает кн.: Г. Веиль. О философии математики. М.-Л. 1934.
92
2. «Всякая наука. - считал Р. Декарт, заключается в достоверном и очевидном познании, которое есть деятельность интеллекта. Возможны только два действия интеллекта, «посредством которых мы можем придти к познанию вещей, не боясь никаких ошибок, это интуиция и дедукция, «поэтому из всех наук только математика чиста «от всего ложного и недостоверного»,; опытное же познание «часто вводит вас в заблуждение» (Р. Декарт. Набранные произведения. [М.]» 1950, с. 81—86). О параллелях между взглядами Декарта и философскими установками Брауэра см. ниже.
93
3. Что обе они не могут -выполняться— это гарантируется законом противоречия. Этот закон Брауэр не ставил под сомнение.
94
4. Но позиция Брауэра позволяет заключать от отвержения альтернативы α, например, путем приведения ее к абсурду, к верности высказывания ~α (этот способ рассуждения признает и конструктивизм, генетически связанный с брауэровской критикой классической математики и логики).
95
5. Цитируется по кн.: E.W. Beth. The Foundations of Mathematics. A Study in the Philosophy of Science. Amsterdam, 1965. p. 618—619.
96
6. Р. Декарт. Избранные произведения, с. 86.
97
7. См., например: Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. [М.], 1959.
98
8. А. А. Марков. Комментарии.—В кн.: А. Рейтинг. Интуиционизм. Введение. М., 1965, с. 162.
98
9. При интуиционистской — не связанной с понятием алгоритма — трактовке конструктивности.
99
10. Мы набросали лишь идею доказательства. Точную формулировку теоремы и полное ее доказательство можно найти, скажем, в кн.:
Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. I. М.. 1960, с. 105—106.
100
11. См. Д. Гильберт. Основания геометрии. М.— Л., 1948.
101
12. И вступил по этому поводу в полемику с Гильбертом (переписка Фреге и Гильберта по данному вопросу опубликована в «Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften.». Jahrgang 1940, 6. Abhandlung, Heidelberg, 1940; 1941, 2. Abhandlung, Heidelberg, 1941).
102
13. Гильберт говорит: «с применением метода идеальных элементов связано одно условие, одно единственное, но необходимое, это доказательство непротиворечивости. Именно, расширение посредством пуюбщения идеальных элементов дозволено только в том случае, когда при этом в старой, более узкой области не-возникает никаких противоречий, то есть если соотношения, которые выявляются для старых образов при исключении идеальных образов, всегда остаются справедливыми в этой старой области» (Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 376).
103
14. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 350.
104
15. См.: Проблемы Гильберта. М., 1969, с. 22.
105
16. Д. Гильберт. О бесконечном. Добавление VIII в его книге «Основания геометрии», с. 351.
106
17. Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 381—382. Под «реальными высказываниями» Гильберт имеет в виду высказывания, не содержащие «идеальных элементов».
107
18. Обращаем внимание на различие между доказательством теорем в формальной системе и доказательством теорем о самой формальной системе. Доказательства последнего рода называются метадоказательствами, а теоремы, в них доказываемые, метатеоремами. Что доказательства в формальной системе финитны — это очевидно, так как они представляют собой знаковые конструкции, то есть материальные объекты. Задача Гильберта состояла в том, чтобы придать финитный характер метадоказательствам.
108
19. Оно, правда, представляет собой сведение к абсурду, но в такой его форме, которая приемлема даже для Брауэра: ни закон исключенного третьего, ни закон снятия двойного отрицания (также отвергаемый интуиционистами) здесь не используется.
109
20. Этот доклад составляет добавление IX в книге «Основания геометрии».
110
21. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М.» 1959, с. 36.
111
1. О содержании этой работы Гёделя можно подробнее прочесть в кн.: Э. М. Чудинов. Теория относительности и философия. М.. 1974, с. 232 и далее.
112
2. K. Godel. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und vervandter Systeme. -— «Monatchefter fur Mathematik und Physik» Bd 38, 1931.
113
3. Понятие тождественной истинности, которое в гл. 3 было нами разъяснено в применении к формам высказываний, трактуемым на уровне логики высказываний (алгебры логики), естественным образом распространяется на классическую логику предикатов и строящиеся на ее основе логико-математические системы. Поскольку, однако, мы не можем здесь рассказать, как происходит такое распространение, мы будем вместо «тождественной истинности» употреблять более общее (хотя и менее определенное) понятие «содержательной истинности» (истинности по смыслу).
114
4. Заметим, что если из доказуемости (или истинности) некоторой формулы (высказывания) следует ее недоказуемость, то это не означает еще формально-логического противоречия. Таковое будет иметь место, если, кроме этого, из недоказуемости будет следовать доказуемость.
115
5. Отметим, что в своей теореме Гёдель использовал более сильное условие, чем «обычная» непротиворечивость, смысл которой был кратко пояснен в главе 5, с. 120—121. Однако впоследствии было показано, что для его теоремы достаточно и «обычной» непротиворечивости.
116
6. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М., 1989, с. 36.
117
7. А. Н. Нагель. Дж. Р. Ньюмен. Теорема Гёделя. М., 1970. с. 58—60.
118
8. Краткий, но достаточно ясный обзор проблематики исследований формальных систем читатель найдет в гл. I кн.: С. Клини. Математическая логика. М., 1973.
9. Одно из таких доказательств приводится в кн.: Э. Мендельсон. Введение в математическую логику. М., 1971, с. 282—295.
119
1. Совокупность этих допущений составляет то, что обычно называют абстракцией потенциальной осуществимости. Представление об этой абстракции в явной форме было введено в логику и основания математики выдающимся советским ученым Андреем Андреевичем Марковым (род. в 1903 г.). См.: А. А. Марков. Теория алгорифмов. Труды Математического института АН СССР. т. ХШ. М.—Л.. 1954. с. 15; А. А. Марков. О логике конструктивной математики. М., 1972.
120
2. Более строго операцию подстановки можно задать следующим образом. По n-местным функциям q1..., gm и m-местной функции h строится n-местная функция f такая, что для любых x1, x2,..., Хn
f(x1, x2,..., Хn) = h(x1, ... Хn),... gm(x1,... Хn)).
121
3. Обращаем внимание на то, что в определениях операторов I—III знак равенства (=) следует понимать как знак так называемого условного равенства (≃). Соединение двух выражений, в которых могут фигурировать знаки частичных функций, знаком условного равенства,-понимается как следующее утверждение: для любого из двух выражений из того, что определено одно из них, вытекает, что определено и другое и их значения совпадают.
122
4. Отметим в этой связи, что приведенное там же определение функции δ подпадает под схему II для случая, когда отсутствуют параметры рекурсии (см. с. 137 — 138). Роль f играет функция δ, в качестве r берется 0, а в качестве h — проектирующая функция I12.
122
