Аналогичную процедуру анализа можно выполнить и для другого игрока. Стратегии RE, соответствующие выбору цены 42 и 38 долларов, следует исключить из рассмотрения, после чего в таблице выигрышей для этой игры останется только три строки и три столбца:
В этой упрощенной игре у каждой компании есть доминирующая стратегия, а именно 40 долларов. Следовательно, согласно правилу № 2 (сформулированному в главе 3) это и есть решение игры.
Стратегия выбора цены 40 долларов не доминирующая в исходной игре с большим числом вариантов. Например, если RE подумает, что BB назначит на свой товар цену 42 доллара, тогда прибыль RE от установления цены 41 доллар (43,260 доллара) будет больше, чем в случае выбора цены 40 долларов (43,200 доллара). Исключение некоторых стратегий может открыть путь для исключения других стратегий во втором раунде игры. В данном примере хватило всего двух раундов для того, чтобы точно определить исход игры. В других случаях может понадобиться больше раундов, но даже тогда диапазон возможных результатов игры можно в какой-то мере сузить, но не до единственного решения.
Равновесие Нэша проявляется, если последовательное исключение доминируемых стратегий (или стратегий, которые ни при каких условиях не могут быть оптимальными ответными ходами) и выбор доминирующих стратегий действительно приводит к единственно возможному исходу игры. Это и есть простой способ, позволяющий найти равновесие Нэша. Таким образом, описанный процесс поиска равновесия Нэша можно кратко сформулировать в виде двух правил.
ПРАВИЛО № 3: одну за другой исключите из рассмотрения все доминируемые стратегии и стратегии, которые ни при каких условиях не могут быть оптимальными ответными ходами.
ПРАВИЛО № 4: исчерпав все простые способы поиска доминирующих или исключения доминируемых стратегий, приступайте к поиску той ячейки таблицы игры, в которой присутствует пара взаимно оптимальных ответных ходов, – это и есть равновесие Нэша для данной игры.
Игры с бесконечным множеством стратегий
В каждой из предыдущих версий ценовой игры, которые мы рассматривали до сих пор, у каждой компании число вариантов цен было ограниченное: только 80 и 70 долларов в главе 3 и от 42 до 38 долларов с возможностью изменения цены на 1 доллар – в данной главе. Мы сделали это, чтобы на упрощенных примерах объяснить вам такие концепции, как дилемма заключенных и равновесие Нэша. В реальной жизни цены могут быть выражены в любом количестве долларов и центов; в сущности, их можно выбирать из непрерывного диапазона чисел.
Наша теория легко справляется с таким расширением диапазона цен, прибегнув к базовому школьному курсу алгебры и геометрии. Мы можем представить цены, которые две компании назначают на свои товары, в виде двумерного графика, расположив цены RE по горизонтальной оси (оси Х), а цены BB по вертикальной (оси Y). Оптимальные ответные ходы можно отобразить на этом графике, вместо того чтобы выделять соответствующие показатели прибыли жирным шрифтом в таблице выигрышей для данной игры.
Проанализируем самый первый пример, в котором одна рубашка обходилась каждому магазину в 20 долларов. Мы опускаем здесь математические выкладки и просто сообщаем полученный результат[58]. Формула ответного хода BB с учетом цены RE (или мнения BB относительно цены, которую установит RE) выглядит так:
Оптимальная ответная цена BB = 24 + 0,4 × цена RE (или цена, которую выберет RE, по мнению ВВ)
На графике этой формуле соответствует более пологая кривая. Очевидно, что на каждое сокращение цены RE в компании BB должны ответить снижением своей цены, но в меньшем размере, а именно на 40 центов. Таков результат расчетов BB, обеспечивающий оптимальное соотношение между потерей клиентов и принятием более низкой маржи прибыли.
Более крутая из двух кривых, показанных на графике, отображает оптимальный ход RE на предполагаемую цену, которую, по мнению RE, выберет BB. В точке пересечения двух кривых оптимальный ответный ход каждой компании соответствует субъективной оценке другой компании; это и есть равновесие Нэша. Как показывает график, это происходит тогда, когда каждая компания назначает на свой товар цену 40 долларов. Кроме того, по этому графику можно определить, что в данной игре есть только одно равновесие Нэша. То, что мы нашли единственное равновесие Нэша в таблице, в которой цены можно было менять только на 1 доллар, не было искусственно созданным следствием такого ограничения.
Построение таких графиков или таблиц, содержащих намного больше деталей, чем мы могли позволить себе в упрощенных примерах, – это стандартный метод вычисления равновесия Нэша. Такие расчеты или графики могут оказаться слишком сложными для того, чтобы делать это с помощью карандаша и бумаги, а кроме того, еще и слишком скучными, но для этого и существуют компьютеры. Приведенные простые примеры дают нам базовое представление о равновесии Нэша. Однако мы должны приберечь свои навыки человеческого мышления для анализа практической ценности этой концепции на более высоком уровне. Это и есть следующая тема.
Прекрасное равновесие: существует ли оно?
На концептуальном уровне у равновесия Нэша есть все основания быть решением игры, в которой каждый игрок имеет свободу выбора. Возможно, самый сильный аргумент в пользу этого утверждения выступает в качестве контраргумента против любого другого предложенного решения. Равновесие Нэша – такая конфигурация стратегий, в которой выбор каждого игрока – это оптимальный ответный ход на выбор другого игрока (или других игроков, если в игре больше двух участников). Если тот или иной исход игры не представляет собой равновесие Нэша, это означает, что минимум один игрок выбрал курс действий, который нельзя считать оптимальным ответным ходом. Очевидно, что у такого игрока есть мотив отклониться от выбранного курса, что сделает предложенное решение бесполезным.
При наличии нескольких равновесий Нэша нам действительно необходим еще какой-то метод для определения того из них, которое будет выбрано в качестве решения игры. Это означает, что нам нужно равновесие Нэша плюс еще кое-что, и вовсе не противоречит теории Нэша.
Итак, у нас есть красивая теория. Однако работает ли она на практике? Кто-то попытается ответить на этот вопрос, проанализировав ситуации, когда такие игры разыгрываются в реальном мире, или воссоздав их в лабораторных условиях и сопоставив фактические результаты с теоретическими прогнозами. Если совпадение достаточно велико, правильность теории подтверждается; если нет, от такой теории следует отказаться. Все просто, не так ли? На самом деле этот процесс оказывается гораздо более сложным как в плане его реализации, так и в плане интерпретации полученных результатов. Последние не дают однозначных ответов: с одной стороны, они подтверждают данную теорию, а с другой – показывают, почему эту теорию необходимо расширить или изменить.
