Читаем без скачивания Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Замедление времени

Внимательно глядя на метрику Шварцшильда (9.5), попробуем понять, о чем она говорит нам.

При помощи этой метрики мы можем вычислять расстояния в пространстве-времени. В том числе, мы можем найти собственное время τ, интегрируя вдоль временеподобной траектории. Рассмотрим объект, который остается неподвижным в пространственных координатах (r, θ, φ). Таким объектом может быть, к примеру, человек на Земле или сама Земля на гелиоцентрической орбите. Мы можем допустить такое приближение, поскольку скорости что человека, что Земли очень малы в сравнении со скоростью света, а значит, мы можем ими пренебречь. Классическая сферическая корова.

При движении по такой траектории пространственные координаты не изменяются, а значит, dr = dθ = dφ = 0. (Нет изменения, нет и приращений в соответствующих направлениях.) Поэтому мы можем узнать собственное время из формулы (9.6):

(9.7)

Проинтегрировать это выражение несложно. Извлечем из обеих его сторон квадратный корень. Множитель в скобках не зависит от t, то есть при разговоре о времени будет постоянным. Следовательно, для конечного интервала мы получаем:

(9.8)

Не забываем о том, что t — координатное время, придуманное нами для удобства, а τ — собственное время, которое на самом деле показывают часы. Согласно этой формуле затраты собственного времени будут пропорциональны изменению координатного времени t, а коэффициент пропорциональности зависит от радиальной координаты r.

Эту зависимость нетрудно интерпретировать. При больших значениях r коэффициент близок к 1, а собственное и координатное время совпадают. Вдали от Солнца гравитационное поле слабое, а пространство-время почти плоское. В этих условиях все часы отсчитывают время, практически равное координатному, как и предсказывал Ньютон.

Однако по мере приближения r к значению 2GM (но r все еще превышает его), 2GM/r будет стремиться к единице, а — к нулю. При этом изменение t будет все меньше и меньше собственного времени. (На время забудем о том, что r может быть меньше или равно 2GM: эта ситуация требует более тщательного осмысления.) То есть в сильном гравитационном поле часы будут идти медленнее, чем координатное время.

Это и есть гравитационное замедление времени. Именно так: мы специально не говорим, что «в гравитационных полях время течет замедленно», и можно понять почему. Часы продолжают отмерять одну секунду за секунду, а вот соотношение между секундой собственного и координатного времени изменилось. Конечно, неподвижный наблюдатель не замечает этого, поскольку ему нет дела до каких-то там искусственно придуманных координат.

Если же мы будем сравнивать две траектории между одними и теми же точками, разница начинает иметь значение. Представьте себе двух друзей, которые живут на далекой планете. Они синхронизируют часы, после чего один из них надолго улетает к Солнцу, другой же остается на месте. Когда они снова встретятся на родной планете, расхождение в собственном времени сделает свое дело: летавший к Солнцу меньше постареет. (Хотя по стандартам общей теории относительности гравитационное поле очень слабо даже вблизи поверхности Солнца, так что разница в возрасте будет не очень большой.)

Этот пример похож на приключения близнецов, о которых мы говорили раньше. Разница в собственном времени возникает в обоих случаях, но по разным причинам: в одном — из-за скорости света, в другом — из-за кривизны пространства-времени. Вспомните фильм «Интерстеллар»: там это как раз и показано.

Гравитационное замедление времени — реальное физическое явление, подтвержденное экспериментом, яркая демонстрация того, что гравитация действительно связана с геометрией. Гравитация напрямую влияет на то, как часы отмеряют временные промежутки в пространстве-времени.

Сингулярности

Теперь посмотрим на то, что случится, когда радиальная координата примет значение

r = 2GM. (9.9)

Это число настолько важно, что получило собственное имя: радиус Шварцшильда. Но прежде чем обсуждать его достоинства, стоит признать, что все происходящее при таких r никак не связано с тем, о чем мы говорили до этого, то есть с пространством за пределами звезды или планеты. Все потому, что радиус Шварцшильда очень мал: к примеру, у Солнца он составляет около трех километров, а у Земли и вовсе не более сантиметра. При этом радиус самого Солнца — около 700 000 километров, а радиус Земли — чуть больше 6000. Так что в любом случае радиус Шварцшильда скрыт глубоко внутри источника гравитации. Мы больше не находимся в пустом пространстве.

Решение Шварцшильда действует только в вакууме, за пределами обладающего гравитацией тела. Внутри него метрика пространства-времени будет какой-то другой, и ничего страшного при r = 2GM не случится. Казалось бы, это математический курьез, который возникает из-за того, что конкретное решение уравнения Эйнштейна неосторожно применяется совершенно к другим условиям.

И все же мы можем подумать о том, что может произойти, если пространство на радиусе Шварцшильда или даже меньшем расстоянии окажется пустым. Например, если случится какая-то катастрофа, из-за которой вся масса Солнца сожмется в шар размером в несколько километров, или же масса Земли соберется в комочек менее сантиметра. Конечно, при этом плотность материи достигнет неимоверно высокого значения, но это неважно: в астрофизике бывает и не такое. В таких местах возникают черные дыры — области пространства-времени, в которых искривление так велико, что даже свет не может выйти за их пределы. В черной дыре, где материя не препятствует приближению к радиусу Шварцшильда, появляется горизонт событий — условная граница, перейдя которую невозможно вернуться обратно во внешний мир.

Едва появившись, работа Шварцшильда завладела умами ученых. Вопрос о том, что творится при r = 2GM, взволновал всех. Действительно, если подставить эту величину в метрику (9.5), значение 1–2GM/r станет равно нулю, а элемент gtt исчезнет. С физической точки зрения это значит, что для тех, кто застыл неподвижно на радиусе Шварцшильда, ход собственного времени прекращается, хотя часы продолжают идти, как обычно. Это, конечно, странно, но вполне сносно. Именно так происходит на светоподобных траекториях, а свет по ним движется постоянно.

Гораздо больше проблем с элементом grr, который равен 1/(1–2GM/r), а значит, при r = 2GM устремляется в бесконечность. Когда величина становится бесконечной, мы говорим, что имеем дело с сингулярностью.

Вот это уже неприятно. Или все-таки нет? Элементы метрики зависят от системы координат. Важна кривизна, а не элементы. Возможно, мы просто выбрали неудобную систему координат.

Лишь через несколько лет физики догадались, что все так и есть. Очевидный дефект метрики при радиусе Шварцшильда — это лишь координатная сингулярность: лишь неудачный выбор системы координат, а не физическая неопределенность. Любая инвариантная к координатам функция, которую можно вывести из тензора Римана, при r = 2GM будет конечной, какими большими бы ни были значения элементов метрики. На радиусе Шварцшильда, несомненно, происходит что-то интересное, ведь это горизонт событий черной дыры, как мы уже скоро увидим. И все же пространство-время ведет себя там предсказуемым образом.