чисел.
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 квадратное число
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) прямоугольное число
По своему характеру фигурные числа явно принадлежат к той же раннепифагорейской «псефической» арифметике, что и теория четных и нечетных чисел. Аристотель писал о тех, кто «приводит числа к форме треугольника и квадрата» (Met 1092 а 13), имея в виду, скорее всего, ранних пифагорейцев. Спевсипп в своем трактате «О пифагорейских числах» прямо называет некоторые из них «многоугольными» (fr. 28). В то же время очевидно, что теория фигурных чисел предшествует возникшим в первой половине V в. задачам на приложение площадей, которые также решаются с помощью гномона. Наконец, принято считать, что метод определения пифагоровых троек, который приписывают Пифагору Герои и Прокл, был найден им как раз с помощью построения квадратных чисел. Таким образом, у нас есть достаточно оснований, чтобы присоединиться к тем, кто считает Пифагора автором этой теории.[586]
Основные ее положения не попали в собрание Евклида. Они даются в популярной форме в трудах поздних авторов: Никомаха (Intr. arith. I, 7-11, 13-16, 17) и Теона Смирнского (Ехр., р. 26-42), а также в комментариях Ямвлиха к Никомаху. Никомах не приводит в своей книге доказательств, однако они, по всей видимости, содержались в том материале, который он использовал и к которому практически ничего не добавил. Это следует хотя бы из предложений, совпадающих с Евклидом: у последнего доказательства есть, а у Никомаха они опущены, потому что он писал для публики, которая ими не интересовалась. Если Пифагор строго доказывал все элементарные положения о четных и нечетных числах, то и теорию фигурных чисел он должен был строить на дедуктивной основе. Весьма правдоподобную реконструкцию этой теории приводит Кнорр, хотя сам он и сомневается, чтобы пифагорейцы строили ее столь же строго аксиоматически, как и он сам.[587] Вот, например, как могла доказываться одна из ее теорем, упоминаемая у Ямвлиха (In Nicom., p. 86.15 f).
Требуется доказать, что любое прямоугольное число — это удвоенное треугольное число. По определению, прямоугольное число — это сумма ряда четных чисел начиная с двух, а треугольное число — это сумма ряда натуральных чисел начиная с единицы. Поскольку последовательный ряд четных чисел представляет собой удвоение ряда натуральных чисел, очевидно, что прямоугольное число является удвоенным треугольным числом.
Доказательство легко иллюстрируется при помощи псефов:
От исследования треугольных и квадратных чисел можно перейти к стереометрической задаче и попытаться построить тело, ограниченное равносторонними треугольниками и квадратами, — в этом случае мы получим пирамиду и куб. При исследовании свойств квадратных чисел был, вероятнее всего, найден и метод определения пифагоровых троек (начиная с нечетного числа).[588] Реконструкция его выглядит следующим образом.
Прибавляя к квадрату гномон, мы получаем следующий квадрат, следовательно, нужно найти такой гномон, который сам бы был квадратным числом.
Выше мы цитировали Ямвлиха, который приписывал Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Хотя в целом Ямвлих — ненадежный источник, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнения. Другое дело, если мы обратимся к родственной задаче — совершенным числам, которые равны сумме собственных делителей, например: 1 + 2 + 3 = 6 или 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Совершенные числа рассматриваются у Никомаха (Intr. arith. 1,16), а также у Теона Смирнского (Ехр., р. 45.9 ff) и Ямвлиха (In Nic, р. 32.20 f). Никомах дает общее правило их нахождения: если сумма чисел геометрического ряда будет простым числом, то, умножив ее на последний член ряда, мы получим совершенное число (Intr. arith., 1,16.1-4). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно, отсутствует, но оно сохранилось у Евклида (1Х,36).
Многие историки математики связывали совершенные числа либо непосредственно с Пифагором, либо с ранними пифагорейцами.[589] Однако Буркерт отрицает это, полагая, что совершенные числа были открыты не ранее второй половины IV в.[590] Действительно, впервые совершенные числа встречаются у Евклида, пифагорейцы же, по свидетельству Аристотеля, называли совершенным число 10 (Met. 1084 а 32 f), а не 6 или 28. Ничего не сказано о них и во фрагменте Спевсиппа, хотя простые числа здесь упомянуты (fr. 28).
При отсутствии прямых свидетельств было бы опрометчивым настаивать на раннепифагорейском происхождении совершенных чисел, а тем более приписывать их открытие Пифагору. И все же отметим, что метод их нахождения сам по себе весьма прост и вполне мог быть открыт еще при жизни Пифагора. Предложение IX,36, в котором изложен этот метод, непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX,21-34), а его доказательство при некотором изменении может быть дано лишь с опорой на предложения 21-34.[591] Если это доказательство действительно было первоначальным, его следует отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.
* * *
Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической.[592] Такой перевес едва ли объясним лишь состоянием наших источников — его подтверждает и ряд исторических свидетельств. Диоген Лаэрций (опираясь, скорее всего, на книгу историка конца IV в. Антиклида) писал, что Пифагор больше всего внимания уделил «арифметической стороне геометрии» (VIII,11). В этом же направлении ведут нас свидетельства Аристоксена (fr. 23) и Аристотеля (fr. 191), подчеркивавших занятия Пифагора числами. Тем не менее, весьма вероятно, что Пифагору принадлежат еще некоторые теоремы первых четырех книг Евклида, пусть даже данных об этом и не сохранилось. Представленный выше перечень его открытий в математике нельзя, естественно, считать исчерпывающим.
С другой стороны, нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность математических открытий Пифагора. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но почти никогда не рассматривали его как математика par excellence, и прежде всего потому, что он таковым не был. Среди самых разнообразных сфер деятельности, в которых проявился его талант, — политика, религия, философия, наука — математика по самой сути вещей не должна была занимать ведущее положение. Можно предполагать, что уже первые «профессиональные» математики — Гиппократ, Феодор, Теэтет или Евдокс — занимались этой наукой систематически и с полной отдачей духовной энергии. Но была ли для Пифагора математика важнее его политической деятельности и религиозного учения?
Для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, следует рассматривать его
