в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его современником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.
Основа математики — дедуктивный метод — был применен в ней впервые Фалесом, причем прилагался он к фактам, истинность которых наглядна, а зачастую даже самоочевидна, например: диаметр делит круг пополам. Однако Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводятся к ее демонстрации. Те из них, которые дошли до нас (Arist. An. pr. 41 b 13-22; Met. 1051 a 26 f), показывают нормальную процедуру логических рассуждений.
Теорема Пифагора не обладает такой наглядностью, как теоремы Фалеса, и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся[593] тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести с наглядности геометрического построения (зафиксированного, в частности, в таких терминах, как θεώρημα и δείκνυμι) на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Ямвлих и Прокл единодушно подчеркивают более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с Фалесом, что должно хотя бы в какой-то степени отражать текст Евдема. Во всяком случае, у Евдема сказано, что Фалес некоторые вещи доказывал καθολικώτερον, другие же — αίσθετικώτερον (fr. 133).
Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в эксплицитном формулировании как первых основных аксиом геометрии,[594] так и первых геометрических определений (Arist. De an. 409 а 6; De sens. 439 а 31). Не случайно Фаворин утверждал, что Пифагор первым стал давать определения в геометрии (D.L. VIII,48).[595]
Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильную пирамиду и куб. Помимо геометрии он распространил дедуктивный метод на новую область — арифметику и создал в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается отмеченное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической математики от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.
Упомянем, наконец, и о других заслугах Пифагора, важность которых не меньше его прямых достижений в математике. Он был основателем той школы математиков, которая многие десятилетия определяла развитие этой науки в Греции. Говоря о пифагорейской математике, следует иметь в виду не только самого Пифагора, Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и их учеников, тех, кто воспринял основы этой науки из рук пифагорейцев: Демокрита, Гиппократа, Гиппия из Элиды, Теэтета или Евдокса. Нетрудно заметить, что за пределами этой группы не остается почти никого из значительных математиков V-первой трети IV в.
Причина столь значительных успехов лежит, конечно, не в приверженности математиков тому направлению пифагорейской мысли, которое считало число ключом к познанию мира. Хотя подобная мысль неоднократно высказывалась, никто еще не смог объяснить, каким образом это убеждение могло помочь кому-нибудь именно в математических исследованиях, в отличие, скажем, от приложения математики к исследованию природы. Во всяком случае, Гиппас, Феодор или Архит, у которых следы числовой философии отсутствуют, добились в математике куда больших успехов, чем, например, Филолай, утверждавший, что «без числа нельзя ничего познать» (44 В 4).
Объяснение расцвета точных наук в этой школе лежит в иной области. Пифагорейская математика, хотя и представленная не столь уж большим количеством имен, имела в каждом или почти в каждом поколении по крайней мере одного крупного исследователя: Пифагор (род. ок. 570), Гиппас (род. ок. 530), Феодор (род. ок. 470), Архит (род. ок. 430). К числу факторов, обеспечивавших непрерывность занятий математикой, следует отнести прежде всего преподавание в этой школе четырех родственных дисциплин: арифметики, геометрии, гармоники и астрономии.
Хотя обычно становление квадривиума точных наук связывают со временем Платона, если не с ним самим,[596] оно датируется гораздо более ранним временем, причем практически все наши свидетельства связаны с пифагорейцами. Еще в период юности Платона, в последней трети V в., квадривиум преподавали пифагореец Феодор (PI. ТЫ. 145а-Ь) и софист Гиппий (PI. Prot. 318е), связанный с традицией этой школы.[597] Архит, говоря о деятельности предшествующих ему пифагорейских математиков, называет родственными (άδελφέα) эти четыре науки (47 В I).[598] Платон упоминает о том, что пифагорейцы считали родственными гармонику и астрономию (Res. 530a-531b). Это ведет нас к тому соединению математики с астрономией и гармоникой, которое произошло еще во время Пифагора и нашло свое отражение в его учении о небесной гармонии. Исократ, называя Пифагора учеником египетских жрецов, среди занятий последних перечисляет арифметику, геометрию и астрономию (Bus. 29). Следы занятий всеми четырьмя науками отчетливо видны у Демокрита, имевшего учителей-пифагорейцев.[599] Упоминания о родственности четырех наук квадривиума неоднократно встречаются и в псевдопифагорейской литературе.[600]
Свидетельства, связывающие квадривиум с Пифагором, весьма поздние,[601] однако они вполне согласуются с представленными выше фактами. Объединить эти четыре науки мог лишь человек, в деятельности которого они действительно были тесно переплетены, что характерно как раз для научных занятий Пифагора. Можно полагать, что формирование квадривиума произошло либо под прямым влиянием Пифагора, либо было осуществлено им самим.[602]
Сведений о преподавании дисциплин квадривиума в пифагорейской школе немного, но они весьма показательны. Ямвлих писал о том, что Пифагор преподавал арифметику и геометрию (VT 22-24). Подробности его рассказа могут быть легендарны, но само обыгрываемое в нем выражение (προτίμα τό σχήμα καί βήμα 4ου σχήμα καί τριώβολον') восходит к акусматической традиции (Iam. Protr. 21; Procl. In Eucl, p. 84) и гарантирует тем самым древность практики преподавания. В другом месте Ямвлих пишет о пифагорейце, который, потеряв все свое имущество, смог обогатить себя преподаванием геометрии (VP 89). Первым, кого античная традиция прямо связывает с преподаванием квадривиума, был пифагореец Феодор (43 А 4). Показательно, что хотя сам Филолай явно не был математиком, в его наследии заметны следы обучения этой науке, равно как гармонике и астрономии. Аристотель, имея в виду пифагорейцев V в., писал, что они «продвинув вперед математические науки и воспитавшись (έντραφέντες) на них, стали считать их начала началами всех вещей» (Met. 985 b 23). Наконец, его ученик Евдем прямо говорит о том, что Пифагор сделал геометрию средством воспитания свободного человека (fr. 133).
Неизвестно, насколько было распространено преподавание математических дисциплин в пифагорейской школе.
