2, 3, 4, 5, 6, 10, 7, 8.
2, 3, 7, 8.
2, 3, 7, 10, 9.
2, 3, 7, 10, 6, 5, 9.
2, 3, 7, 10, 6, 5, 4, 8.
Можно заметить, что четвертое направление (1, 4, 3, 7, 10, 6, 5, 9) совпадает с показанным на рисунке справа. Тринадцатое совпадает с решением, приведенным при формулировке задачи, где разрез начинается с боковой стороны, а не сверху доски. Части, однако, окажутся одинаковой формы, если их перевернуть другой стороной кверху, что, как указывалось в условии, не приводит к новому решению.
118. Способ разрезания доски таким образом, чтобы все 4 части оказались одинаковых размеров и формы и содержали по одному драгоценному камню, показан на рисунке. Клетки двух частей заштрихованы, чтобы сделать решение более наглядным.
Быть может, читателю будет небезынтересно сравнить эту головоломку с задачей 14 настоящей книги.
119. Монах, «искушенный в тайных науках», указал отцу Джону, что распоряжение аббата можно легко выполнить, заделав 12 просветов. Они показаны на схеме черными квадратами.
Отец Джон настаивал на том, чтобы заделать 4 угловых просвета, но мудрец объяснил, что желательно заделать не больше просветов, чем это совершенно необходимо, и сказал, предвосхищая лорда Дандриери:
– Единственное стекло может располагаться на одной прямой с самим собой не более чем единственная птица может залететь в угол и толпиться там в одиночестве. В условии аббата говорилось, чтобы ни одна прямая не содержала нечетного числа просветов.
Когда святой отец увидел сделанное, он остался очень доволен и сказал:
– Воистину, отец Джон, ты человек глубокой мудрости, ибо ты сделал то, что казалось невозможным, да еще при этом украсил наше окно крестом святого Андрея, чье имя я получил от моих крестных.
После этого он крепко заснул и на утро поднялся освеженным. Это окно можно было бы и сейчас увидеть целым в монастыре святого Эдмондсбери, если бы он существовал!
120. Максимальное число частей равно 18. Я привожу здесь два решения. Доска с цифрами разрезана таким образом, что восемнадцатая часть имеет при заданных условиях максимальную площадь (8 клеток). Второй вариант выполнен с тем условием, чтобы ни одна из частей не содержала более пяти клеток.
В задаче 74 показано, как разрезать доску на 12 попарно различных частей, содержащих по 5 клеток, за исключением одной квадратной части из четырех клеток.
121. Части можно сложить так, как показано на рисунке; при этом образуется правильная шахматная доска.
122. Очевидно, на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна находиться лишь одна ладья. На первой горизонтали мы можем расположить ладью 1 из 8 способов. Куда бы мы ее ни поместили, вторую ладью на второй горизонтали мы сможем расположить 7 способами. Далее, мы можем расположить третью ладью 6 способами и т. д. Следовательно, число различных комбинаций равно 8X7X6X5X4X3X2X1 = = 8! = 40 320.
Сколько различных комбинаций получится, если не различать между собой расположения, получающиеся друг из друга с помощью поворотов и отражений, еще не выяснено. Это трудная задача. Однако этот вопрос на меньшей доске рассмотрен в следующей головоломке.
123. При данных условиях существует лишь 7 различных способов, а именно: 1 234, 1 243, 1 324, 1 342, 1432, 2 143, 2 413. Например, в последнем случае обозначение расшифровывается так: лев находится во второй клетке первой горизонтали, четвертой клетке второй горизонтали, первой клетке третьей горизонтали и третьей клетке четвертой горизонтали. Первое расположение, очевидно, совпадает с тем, которое приведено при формулировке данной головоломки.
124. Это нельзя сделать с числом слонов, меньшим 8, а простейшее решение состоит в том, чтобы расположить слонов на четвертой или пятой горизонтали (см. рисунок).
Однако стоит отметить, что при таком расположении все слоны оказались незащищенными; так что мы изучим этот вопрос в следующей головоломке.
125. Эта головоломка совсем проста, если вы сначала немного подумаете. Вам следует рассмотреть лишь клетки одного цвета, ибо, что бы вы ни делали на белых клетках, то же самое можно повторить и на черных, так что они здесь не зависимы друг от друга. Разумеется, такое равноправие белых и черных клеток является следствием того факта, что число клеток на обычной доске, 64, – четное. Если бы квадратная доска «в клетку» содержала нечетное число клеток, то клеток одного цвета оказалось бы на 1 больше, чем другого.
Чтобы каждая клетка оказалась под угрозой нападения, а каждый слон защищен другим слоном, необходимо иметь 10 слонов. Я привожу на рисунке одно из расположений. Можно заметить, что 2 центральных слона в группе из 6 слонов слева нужны лишь для того, чтобы защищать слонов, стоящих на соседних клетках. Следовательно, другое решение получится, если верхнего из этих двух слонов мы поднимем на клетку вверх, а нижнего на клетку вниз.
126. Четырнадцать слонов можно расположить 256 различными способами. Но каждого слона следует всегда помещать на одной из сторон доски (то есть где-то на крайней горизонтали или вертикали). Таким образом, головоломка состоит в том, чтобы определить число различных способов, какими мы можем расставить 14 слонов по краям доски так, чтобы они не атаковали друг друга. Сделать это нетрудно. На доске размером п X п клеток 2п – 2 слона (максимальное число) всегда можно расположить 2п способами так, чтобы они не атаковали друг друга. На обычной шахматной доске п=8, следовательно, на ней 14 слонов можно расположить 256 различными способами. Довольно удивительно, что в общем случае получается такой простой ответ.
127. Решение этой головоломки показано на рисунке.
Можно заметить, что ни один ферзь не атакует другого и что никакие три ферзя не располагаются на одной наклонной прямой. Это единственное расположение из 12 фундаментальных решений, удовлетворяющее последнему условию.
128. Решение этой головоломки приведено на рисунке слева. Это единственное решение, удовлетворяющее заданным условиям. Однако если бы одна из 8 звезд не была уже предварительно помещена на рисунке, то существовало бы 8 способов расположения, получающихся из данного с помощью поворотов и отражений.
Так, если вы будете поворачивать рисунок, чтобы при этом каждая из сторон квадрата оказалась по очереди внизу, то получите 4 решения, а если для каждого из них вы построите зеркально-симметричное решение, то добавится еще 4 решения. Следовательно, эти 8 решений представляют собой лишь вариации одного «фундаментального» решения. Но в случае, когда место одной из звезд предварительно не фиксируется, существует и другое фундаментальное решение, показанное на рисунке справа. Однако это расположение обладает определенной симметрией и потому порождает только 4 решения.
129. На рисунке показано, как следует переложить плитки. Как и прежде, не хватает одной желтой и одной розовой плиток. Я хотел бы подчеркнуть, что в предыдущем расположении желтую и розовую плитки в седьмой горизонтали можно поменять местами, но никакое иное расположение невозможно.
130. При некоторых расположениях получается больше диагональных слов из четырех букв, чем при других, и мы сначала поддаемся искушению отдать им предпочтение; но это ложный след, поскольку все, что мы выигрываем в диагональных направлениях, мы проигрываем вдоль вертикалей и горизонталей. Конечно, тому, кто решает эту задачу, сразу приходит в голову, что слова LIVE и EVIL стоят вдвое больше других слов, ибо их мы всегда считаем дважды. Это важное наблюдение, хотя порой те расположения, которые содержат больше всего таких слов, оказываются бесплодными в отношении других, и мы в целом остаемся в проигрыше.
Приведенное на рисунке расположение удовлетворяет условию, согласно которому никакие две одинаковые буквы не должны находиться на одной вертикали, горизонтали или диагонали; и оно приводит к тому, что данные 5 слов удается прочитать 20 раз – 6 по горизонтали, 6 по вертикали, 4 вдоль диагоналей, отмеченных стрелками слева, и 4 вдоль диагоналей, отмеченных стрелками справа. Это максимум.
Четыре множества из восьми букв можно расположить на доске с 64 клетками 604 различными способами, при которых никакие две одинаковые буквы не находятся на одной прямой. При этом расположения, получающиеся друг из друга с помощью поворотов и отражений, не считаются различными и, кроме того, не учитываются перестановки внутри самих букв, то есть, например, перемена местами букв L и Е.
