Далее, странно не только то, что приведенное расположение с 20 словами оказывается максимальным, но также и то, что максимум можно получить лишь из этого расположения. Однако если вы поменяете местами в данном решении буквы V с буквами I, a L – с Е, то получите по-прежнему 20 слов. Следовательно, существуют 2 способа достичь максимума из одного и того же расположения. Минимальное число слов равно нулю, то есть буквы можно расположить таким образом, чтобы ни по какому направлению не удавалось прочесть ни одного слова.
131. Обозначим буквами А, К, Q, J соответственно туза, короля, даму и валета, а буквами D, S, H, С – бубны, пики, червы и трефы. На рисунке приведены два способа, 1 и 2, расположения букв каждой группы, при которых никакие две одинаковые буквы не располагаются на одной прямой, хотя поворот на четверть оборота расположения 1 приведет к расположению 2.
Если мы наложим друг на друга эти два квадрата, то получим расположение 3, дающее одно решение. Но в каждом квадрате мы можем переставить буквы на верхней горизонтали 24 способами, не меняя схемы расположения. Так, на рисунке 4 буквы S помещены на место букв D из расположения 2, буквы H – на место S, С – на место H и D – на место С. Отсюда, очевидно, следует, что два исходных расположения можно скомбинировать 24 × 24 = 576 способами. Однако ошибка, которую сделал Лябосн, состояла в том, что А, К, Q, J он располагал способом 1, a D, S, Н, С – способом 2. Таким образом, он учел отражения и повороты на пол-оборота, но проглядел повороты на четверть оборота. Очевидно, их можно менять местами. Поэтому, если отражения и повороты считать новыми решениями, правильным ответом будет 2 × 576 = 1152. По-другому можно сказать, что пары на верхней горизонтали можно записать 16 × 9 × 4 × 1 = 576 различными способами, а учитывая то, что квадрат можно заполнить двумя способами, получаем всего 1152 решения.
132. Как отмечалось, при данных условиях поместить все изображенные на рисунке буквы в ящик невозможно, но головоломка состояла в том, чтобы поместить максимально возможное количество таких букв.
Здесь требуется слегка раскинуть мозгами и внимательно исследовать задачу, иначе мы придем к поспешному заключению, что сперва следует расставить все 6 букв одного типа, затем – все 6 букв другого типа и т. д. Поскольку существует лишь один способ (вместе с его поворотами), с помощью которого 6 одинаковых букв удается расставить так, чтобы никакие две не оказались на одной прямой, читатель обнаружит, что, расположив 4 типа букв по 6 экземпляров каждого типа, он займет все ячейки, кроме 12, расположенных вдоль двух больших диагоналей. Следовательно, он не сумеет разместить еще более чем по две буквы двух оставшихся типов, так что всего останется 8 пустых ячеек (см. рисунок 1).
Секрет состоит, однако, в том, что не следует пытаться размещать все 6 букв каждого типа. Можно выяснить, что если мы ограничимся лишь 5 буквами каждого типа, то это количество (всего 30) можно разместить в ящике, и при этом останется лишь 6 пустых ячеек. Однако правильное решение состоит в том, чтобы разместить по 6 букв каждого из двух типов и по 5 букв оставшихся четырех типов. Исследование рисунка 2 покажет, что здесь присутствует по 6 С и D и по пять А, В, Е и F. Следовательно, остаются лишь 4 пустые ячейки, и никакие 2 одинаковые буквы не располагаются на одной прямой.
133. Решение данной головоломки приведено на рисунке. На доске можно расположить только 8 ферзей или 8 ладей так, чтобы они не атаковали друг друга, тогда как соответствующее максимальное число для слонов равно 14, а для коней – 32.
Но поскольку всех этих коней нужно поместить на клетки одинакового цвета, тогда как ферзи уже занимают по 4 клетки каждого цвета, а слоны – по 7 клеток каждого цвета, то в результате мы можем поместить на клетки одинакового цвета лишь 21 коня. На пустой доске можно расположить более 21 коня, но мне не удалось это сделать на доске, где «царит теснота». Я думаю, что приведенное решение содержит максимальное число шахматных фигур, однако возможно, что какому-нибудь изобретательному читателю удастся поместить на доску еще одного коня.
134. Фишки можно расположить в следующем порядке:
135. На рисунке показано, как можно наклеить 16 марок на карточку при заданных условиях, причем общая сумма составит 50 пенсов, или 4 шиллинга 2 пенса.
Если, наклеив 4 марки по 5 пенсов, читатель попытается наклеить также 4 марки по 4 пенса, то он сможет затем наклеить лишь по 2 марки каждого из трех оставшихся достоинств, потеряв при этом 2 пенса. Таким образом, общая сумма марок составит лишь 40 пенсов, или 4 шиллинга. Именно на эту ловушку и рассчитана данная головоломка, (Сравни с задачей 43.)
136. Фишки можно расположить в следующем порядке:
137. Число различных расположений овец по загонам, при которых каждый загон либо оказывается занятым, либо находится на одной вертикали, горизонтали или диагонали по крайней мере с одной овцой, равно 47.
В таблице указаны все эти расположения, разобраться в которых поможет ключ из рисунка 1.
Это, разумеется, означает, что если вы поместите овец в загоны А и В, то существует 7 различных загонов, куда вы сможете поместить третью овцу, что дает 7 различных решений. Мы помним, что повороты и отражения не приводят к новым решениям.
Если потребовать, чтобы по крайней мере один за «гон не находился на одной прямой ни с какой овцой, то число решений окажется равным 30. Если мы в каждом из этих 47 и 30 случаев соответственно будем считать новыми решения, получающиеся с помощью поворотов и отражений, то получим общее число решений, равное 560, что совпадает с числом способов, которыми овец можно разместить по трем загонам вообще без всяких условий. Я хочу отметить, что существуют три способа, какими можно двух овец расположить так, чтобы каждый загон либо оказался занятым, либо находился на одной прямой по крайней мере с одной овцой (см. рисунки 2, 3 и 4); но при этом в каждом случае овцы располагаются на одной прямой. Существуют лишь 2 расположения, при которых каждый загон оказывается либо занят, либо на одной прямой по крайней мере с одной овцой, но никакие две овцы не располагаются на одной прямой друг с другом (см. рисунки 5 и 6). Наконец, существует лишь один способ, при котором три овцы располагаются таким образом, что по крайней мере один загон не находится ни на какой прямой ни с одной овцой и никакая овца не находится на одной прямой с другой овцой. Поместите овец в клетки С, Е и L. Этим практически исчерпывается все, что следовало бы сказать по поводу такого приятного пасторального сюжета.
138. На рисунке показаны 4 фундаментально различных решения. В случае А мы можем изменить порядок так, чтобы одиночная собака оказалась внизу, а остальные отстояли от нее на 2 клетки вверх.
Точно так же мы можем использовать следующую справа вертикаль и обе из двух центральных горизонталей. Таким образом, случай А порождает 8 решений. Далее, решение В можно повернуть на 180° и расположить вдоль любой диагонали, что дает 4 решения. Аналогично случай С дает 4 решения. Расположение на прямой в случае D симметрично, так что повороты на 180° ничего нового не дадут, но собак можно помещать вдоль 4 различных прямых. Таким образом, мы получаем всего 20 различных решений.
139. Если бы древний архитектор расположил 5 своих полумесяцев так, как показано на рисунке, то каждая плитка оказалась бы под наблюдением (то есть на одной прямой) по крайней мере одного полумесяца и, кроме того, осталось бы место для квадратного ковра, занимающего ровно половину всего данного участка пола.
Весьма удивительно, что хотя существуют 2 или 3 решения, при которых ковер, если соблюдаются все прочие условия, занимает площадь приблизительно в 29 плиток, это единственно возможное решение, дающее ровно половину всей площади, что является максимумом.
140. Слон находится на клетке, занятой первоначально ладьей, а 4 ферзя расположены таким образом, что каждая клетка либо занята, либо оказывается под угрозой нападения одной из фигур (см. рисунок а).
Если 4 ферзя расположены, как показано на рисунке б, то пятого ферзя можно поместить на любую из 12 клеток, помеченных буквами a, b, с, d и е; либо можно поставить ладью на две клетки с; либо слона на 8 клеток a, b и е; либо пешку на клетку b; либо короля на четыре клетки b, c и e. единственное известное расположение четырех ферзей и коня, принадлежащее Дж. Уоллису, приведено на рисунке в.
