Рис. 96
Теснее всего из всех геометрических фигур с золотым сечением связан, конечно, правильный пятиугольник, обладающий пятисторонней симметрией. Однако одними правильными пятиугольниками плоскость не замостишь, периодического узора не получится. Сколько ни старайся, останутся незаполненные промежутки. Поэтому долгое время считалось, что невозможно создать замощение с крупномасштабной упорядоченностью (так называемым «дальним порядком»), обладающее пятисторонней симметрией. Однако Роджер Пенроуз в 1974 году обнаружил два основных набора плиток, при помощи сочетания которых можно замостить плоскость целиком, соблюдая при этом «запретную» пятистороннюю симметрию. Получившиеся узоры не строго периодичны, хотя и обладают дальним порядком.
Мозаики Пенроуза, можно сказать, сплошь построены на золотом сечении. Одна из пар плиток, которые рассматривал Пенроуз, состоит из двух фигур под названием «дротик» и «змей» (рис. 97, a и b соответственно). Обратите внимание, что обе фигуры состоят из двух равнобедренных треугольников, входящих в состав правильного пятиугольника (рис. 25). Треугольник, у которого отношение стороны к основанию равно φ, – это так называемый золотой треугольник (рис. 97, b), а треугольник, у которого отношение стороны к основанию равно 1/φ, – это золотой гномон (рис. 97, a). Эти фигуры можно получить, если разделить в золотом сечении длинную диагональ ромба с углами 72 и 108 градусов (рис. 98).
Рис. 97
Рис. 98
Пенроуз и принстонский математик Джон Хортон Конвей показали, что для того, чтобы замостить плоскость змеями и дротиками непериодическим образом, как на рис. 99, нужно соблюдать определенные правила сочетаемости. Для этого удобно наносить на стороны фигур «метки» в виде выступов и пазов, как на кусочки паззла (рис. 100). Далее Пенроуз и Конвей доказали, что змеи и дротики могут непериодически заполнять плоскость бесконечным множеством способов, поскольку каждый узор можно окружить любым другим узором и таким образом создать третий, отличающийся от первых двух. Одно из самых поразительных свойств любой мозаики Пенроуза из дротиков и змеев состоит в том, что количество змеев примерно в 1,618 раз больше количества дротиков. То есть, если мы обозначим количество змеев как Nзмеев, а количество дротиков как Nдротиков, то чем больше площадь, тем ближе отношение Nзмеев / Nдротиков к числу φ.
Рис. 99
Рис. 100
Другая пара Пенроуза, непериодически заполняющая плоскость целиком, состоит из двух ромбов, «толстого» и «тонкого» (рис. 101). Как и пара «змей-дротик», каждый из ромбов состоит из двух золотых треугольников или двух золотых гномонов (рис. 102), и при замощении плоскости нужно соблюдать определенные правила сочетаемости, для удобства чего на нашем рисунке стороны и углы ромбов помечены и разрисованы (рис. 103), и тогда получается узор, заполняющий всю плоскость, как на рис. 4. Опять же «толстых» ромбов на замощение большой площади идет в 1,618 раз больше, чем «тонких», и Nтолстых / Nтонких = φ. «Толстые» и «тонкие» ромбы теснейшим образом связаны со змеями и дротиками, а обе эти пары – посредством золотого сечения – с системой пятиугольника-пентаграммы.
Рис. 101
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 104
Вспомним, что интерес пифагорейцев к золотому сечению начался с бесконечной череды вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пентаграмм – как на рис. 105. На этом чертеже спрятаны все четыре плитки Пенроуза. Точки B и D отмечают противоположные дальние углы змея DCBA, а точки A и C – «крылышки» дротика EABC. Аналогичным образом можно найти на рисунке и «толстый» ромб AECD, и «тонкий» (в меньшем масштабе) ABCF.
Рис. 105
Пенроуз продолжил изыскания в области мозаик и в трехмерном пространстве. Двумерные плитки замощают плоскость, а трехмерные «кирпичи» заполняют пространство. В 1976 году математик Роберт Амманн обнаружил пару «кирпичей» (рис. 106), «сплюснутый» и «растянутый», так называемые ромбоэдры, которыми можно заполнить пространство без промежутков. Более того, Амманн сумел доказать, что при наличии набора правил о сочетаемости граней получается непериодический узор, обладающий симметрическими свойствами икосаэдра (Рис. 20, e; это эквивалент пятисторонней симметрии в трех измерениях, поскольку на каждой вершине сходятся пять симметричных ребер). Не стоит удивляться, что эти два ромбоэдра – это золотые ромбоэдры, и их грани идентичны ромбам в плитках Пенроуза (рис. 101).
Рис. 106
Плитки Пенроуза так и держались бы в относительной тени, оставшись уделом занимательной математики, если бы не сенсационное открытие 1984 года. Израильский инженер, специалист по сопротивлению материалов Дан Шехтман с коллегами обнаружили, что кристаллы сплава марганца и алюминия обладают и дальним порядком, и пятисторонней симметрией. Это был настоящий переворот в кристаллографии: примерно такой же сенсацией для зоологов стало бы обнаружение стада пятиногих коров. Физики-твердотельщики и кристаллографы много десятков лет пребывали в убеждении, что твердые тела могут принимать лишь две основные формы – или полностью периодические кристаллы, структура которых строго упорядочена, или совершенно аморфные тела. В упорядоченных кристаллах, например, в привычной нам поваренной соли, атомы или группы атомов составляют узор, который в точности повторяется, и эти повторяющиеся узоры называются элементарными ячейками и формируют периодические структуры. Например, в случае соли элементарная ячейка – куб, каждый атом хлора окружен соседними атомами натрия и наоборот, каждый атом натрия оказывается окружен атомами хлора (рис. 107). Это очень похоже на идеально замощенный плитками пол: положение и ориентация каждой элементарной ячейки однозначным образом определяет общий узор. А в аморфных материалах, например, в стекле, атомы совершенно дезорганизованы. Считалось, что раз периодически замостить плоскость без промежутков могут только фигуры вроде квадратов – с четырехсторонней симметрией, – равносторонних треугольников – с трехсторонней симметрией, – и правильных шестиугольников – с шестисторонней симметрией, значит, в природе существуют исключительно кристаллы с двух-, трех-, четырех– и шестисторонней симметрией. Кристаллы Шехтмана вызвали совершеннейшую оторопь, поскольку обладали не просто строго упорядоченной структурой, как периодические кристаллы, но и пятисторонней (икосаэдральной) симметрией. До этого открытия мало кто подозревал, что возможно состояние материи, обладающее важными свойствами как кристаллических, так и аморфных субстанций. Новую разновидность кристаллов (после открытия Дана Шехтмана были найдены и другие сплавы алюминия) называют теперь квазикристаллами: они не аморфны, как стекло, но и не совсем периодичны, как соль. Иначе говоря, эти необычные материалы обладают теми же свойствами, что и мозаики Пенроуза! Однако от этого понимания как такового физикам нет особого толка: они хотят разобраться, как и почему формируются квазикристаллы. Правила сочетаемости Пенроуза и Амманна в данном случае не более чем хитроумное математическое упражнение, которое вовсе не объясняет поведения атомов или групп атомов в природе. В частности, трудно представить себе энергетическую конфигурацию, допускающую существование двух типов групп атомов (подобно двум ромбоэдрам Аммана) именно в той пропорции, которая обеспечивает наблюдаемую плотность.
Рис. 107
Вероятное объяснение было найдено в 1991 году, когда математик Сергей Емельянович Бурков из Института теоретической физики им. Ландау в Москве обнаружил, что для квазипериодического замощения плоскости не обязательно нужны плитки двух видов. Бурков доказал, что квазипериодичности можно добиться даже при помощи одной плитки десятиугольной формы, если допустить, чтобы плитки перекрывались: такое свойство ранее не допускалось при замощениях плоскости. Пять лет спустя немецкий математик Петра Гуммельт из Университета имени Эрнста Морица Арндта в городе Грайфсвальд убедительно доказала, что мозаику Пенроуза можно получить при помощи одного «раскрашенного» десятиугольника в сочетании с конкретным правилом, допускающим перекрывание: два десятиугольника могут накладываться друг на друга, только если при этом перекрываются темные участки рисунка (рис. 108). Этот десятиугольник также имеет прямое отношение к золотому сечению: радиус круга, в который вписан правильный десятиугольник со стороной 1, равен φ.
