Введем два новых элемента и запишем:
Для любого i = 1, …, k пусть σ представляет собой серию перестановок «слева-направо»:
σ = (< x, 1> < x, 2> … < x, i>) (< y, i + 1> < y, i + 2> … < y, k>) (< x, i + 1>) (< y, 1>)
Обратите внимание, что каждая перестановка приводит к обмену элемента из [n] на один из элементов {x, y}, а значит, все они отличны от перестановок в пределах множества [n], которые привели к образованию π, а также от <x, y>. Обычная проверка показывает, что теперь:
Другими словами, σ возвращает k-цикл в прежнее состояние и оставляет x и y на своих местах (без выполнения < x, y>).
Пусть теперь π представляет собой произвольную перестановку на множестве [n]: оно состоит из независимых (ненулевых) циклов, каждый из которых может быть поочередно возвращен в исходное состояние так, как показано выше, после чего x и y можно в случае необходимости поменять местами посредством <x, y>, что и требовалось доказать.
От автора
Я не смог бы написать эту книгу без поддержки сценаристов мультсериалов «Симпсоны» и «Футурама», которые нашли время для интервью и во многих случаях делали гораздо больше, чем от них требовалось, для того чтобы мне помочь. Я особенно признателен таким людям, как Дж. Стюарт Бернс, Эл Джин, Кен Килер, Тим Лонг, Майк Рейсс, Мэтт Селман, Патрик Веррон, Джош Вайнштейн и Джефф Уэстрбук. Дэвид Х. Коэн проявил невероятное дружелюбие и терпение и не жалел своего времени для меня с тех самых пор, как я написал ему первое электронное письмо еще в 2005 году. Должен также отметить, что Кен, Майк, Эл и Дэвид предоставили свои личные фотографии для включения в книгу, так же как и Майк Бэннен. Я искренне признателен компании Fox и Мэтту Грейнингу за разрешение использовать изображения из «Симпсонов» и «Футурамы».
Я благодарен Рони Брунн за информацию о математическом клубе, а также Эми Джо Перри, которая помогла организовать интервью и чувствовать себя как дома во время пребывания в Лос-Анджелесе. Я признателен также профессору Саре Гринволд и профессору Эндрю Нестлеру за то, что нашли время побеседовать со мной. Я советую читателям посетить их сайты, где они найдут еще много интересного о «Симпсонах» и «Футураме».
Это моя первая книга, написанная после того, как я стал отцом, поэтому я благодарю своего трехлетнего сына Хари Сингха, который провел прошедший год, стуча по клавиатуре моего компьютера и пуская слюни на рукопись книги, когда я этого не видел. Он был для меня лучшим отвлекающим фактором из всех возможных.
Когда я закрывался в своем кабинете, миссис Сингх (известная также как Анита Ананд) занималась важной работой: развлекая Хари, пекла кексы, рисовала картинки, ловила бабочек, запускала бумажного змея и играла в прятки. Когда Анита закрывалась в кабинете, чтобы писать свою книгу, Хари либо бегал без присмотра на улице, либо за ним присматривал кто-то другой. Я благодарен за это бабушке Сингх, дедушке Сингху, бабушке Ананд, Натали, Исааку и Махалии.
Как всегда, Патрик Уолш, Джейк Смит-Бозанкет и их коллеги из литературного агентства Conville & Walsh были неизменным источником советов и поддержки. Я получил истинное удовольствие от сотрудничества с новым британским редактором Натали Хант, и мне было вдвойне приятно снова работать с Джорджем Гибсоном, который поверил в меня как в начинающего писателя еще тогда, когда я опубликовал свою первую книгу о последней теореме Ферма.
В своих исследованиях я полагался на различные интернет-источники, созданные преданными поклонниками «Симпсонов» и «Футурамы». Информацию о них можно найти в разделе «Онлайн-ресурсы». Я признателен Дону Дзедзи и Майку Уэббу за советы, касающиеся бейсбола, Адаму Рутенфорду и Джеймсу Крайму за различные идеи, Алексу Сили за интересные предложения, Джону Вудраффу за еще большее количество предложений, а также Лоре Стук за расшифровку моих интервью. Я хотел бы также поблагодарить Сьюзан Пера, которая занималась организацией бумажной и административной работы на протяжении последних десяти лет и даже больше и уходит на пенсию в этом году. Она всегда была суперзвездой и не позволила моей жизни развалиться на части, и я не знаю, как буду без нее обходиться.
И последнее, что мне хотелось бы отметить. Я планировал выпустить эту книгу еще в 2005 году, но мне помешали необоснованные иски, которые выдвинули против меня многие представители альтернативной медицины, от гомеопатов до хиропрактиков. В итоге, вместо того чтобы писать книгу о «Симпсонах» и «Футураме», я в соавторстве с профессором Эдзардом Эрнстом написал книгу под названием Trick or Treatment? Alternative Medicine on Trial («Обман или лечение? Исследование альтернативной медицины»).
После публикации статьи о хиропрактике в Guardian Британская ассоциация хиропрактиков выдвинула против меня иск по обвинениям в клевете. Наряду с делами о клевете против доктора Питера Уилмхерста, доктора Бена Голдакра и многих других это помогло начать кампанию за либеральную реформу в Великобритании. На то чтобы отстоять это дело в суде, понадобились два трудных года, но за это время я понял, что у меня уже есть много верных друзей и появилось много новых.
Первое собрание движения за либеральную реформу организовал Дэвид Аллен Грин вместе с моим адвокатом Робертом Дугансом. Три сотни блогеров, скептиков и ученых собрались в пабе Penderel’s Oak на улице Холборн в Лондоне, где услышали выступления Трейси Браун, Ника Коэна, Брайана Кокса, Криса Френча, Дэйва Гормана и Эвана Харриса. Свои сообщения с выражением поддержки прислали Ричард Вайзман, Тим Минчин, Дара О’Бриэн, Фил Плейт, Сайл Лейн и многие другие. Большинство из этих людей впоследствии лоббировали политиков и выступали на других митингах движения за либеральную реформу.
Это было только начало. Впоследствии я получил поддержку со стороны Образовательного фонда Джеймса Рэнди в Соединенных Штатах Америки, журнала Cosmos в Австралии, групп общества Skeptics in the Pub («Скептики в пабе») во всем мире, фестиваля литературы и искусств Hay Festival, а также таких организаций, как QEDcon, Sense About Science, Science Media Centre, Index on Censorship, English PEN и многих других организаций и частных лиц. Совершенно неожиданно я стал частью большой семьи, члены которой выступают в защиту науки, рационализма и свободы слова. К этой семье принадлежал и доктор Робин Инс, который организовал мероприятие по сбору средств и всегда был готов помочь, как только в этом возникала необходимость. Этот человек – немного ворчливое сокровище нации.
Десятого февраля 2010 года, когда кампания за либеральную реформу отчаянно нуждалась в поддержке, я пообещал, что в своей следующей книге обязательно назову имена людей, которые сделали в том месяце все возможное, чтобы уговорить других подписать петицию в поддержку либеральной реформы. В итоге петицию подписали более шестидесяти тысяч человек, благодаря чему политики узнали о том, что общественность требует более справедливого закона о свободе слова. Как я и обещал, хочу поблагодарить таких людей, как Эрик Эгл, Терез Ахлстам, Жоао Ари, Леонардо Ассумпкао, Мэтью Бейкос, Дилип Банхатти, Дэвид Барретт, Джеймс Барвелл, Ричи Бичем-Патерсон, Сьюзан Бьюли, Рассел Блэкфорд, Роузи, Флориан и Ханс Брюэр, Мэтт Берк, Боб Бери, Коуби Кобб, Криспин Купер, Саймон Коттон, Ребекка Кроуфорд, Энди Ли Дэвис, Малкольм Додд, Тим Дойл, Джон Эмсли, Тони Флинн, Тереза Готт, Шейла Гривз, Шерин Джексон, Эллиот Йокль, Бронвин Климеч, Джон Ламберт, Дэниел Линч, Тоби Макфарлейн, Дункан Макмиллан, Эластар Макра, Кертис Паласюк, Анил Паттни, Микко Петтери Салминен, Колетт Филипс, Стив Робсон, Деннис Ридгрен, Марк Солтер, Джоан Скэнлон, Эдриан Шонесси, Дэвид Спрэт, Джон Старбак, Сара Сач, Райан Тана, Джеймс Томас, Стивен Тордофф, Эдвард Тернер, Айша У., Ли Уоррен, Мартин Вивер, Марк Вилкокс, Питер Уилсон, Билл Роут и Роджер ван Цваненберг.
Сейчас на стене паба Penderel’s Oak висит табличка с надписью: «После четырех лет проведения кампании с участием тысяч людей и сотен организаций старые законы отменены. 25 апреля 2013 года был принят новый Закон о клевете».
Онлайн-ресурсы
Профессора Эндрю Нестлер и Сара Гринволд предоставили прекрасные источники для желающих изучить математические ссылки, присутствующие в мультсериалах «Симпсоны» и «Футурама», в том числе материалы, предназначенные для преподавателей.
«Симпсоны» и математика
www.simpsonsmath.com
