Законы теории вероятности могут показать то, чего ожидать от длинного ряда случайных событий, но не то, что фактически случится при следующем событии. Тот, кто заключает пари, мог бы сделать только одну ставку и выиграть на одном конкретном повороте рулетки. Фактически, теория вероятности говорит нам, чтобы мы ожидали, что это произойдет один раз из каждых 38 случаев. Также можно выиграть два раза подряд. Выигрыш двух ставок на одно число ожидается один раз на каждые 1 444 (38 умножить на 38) последовательности с двумя попытками. Даже несмотря на то, что никто не может предсказать конкретные события, чем больше вы играете, тем ближе общий результат приблизится к тому, что ожидается. (Игорное заведение ожидает потерять одно пари на одно число из каждых 38 и заплатить 35 долларов к 1 доллару. Получая 37 долларов от проигрывающих игроков и выплачивая 35 долларов в течение этих 38 пари, заведение ожидает выиграть разницу в 2 доллара, или 5,26 процента (2/38), из каждых поставленных 38 долларов. В конце любого дня, недели или месяца, когда отдаленные ожидаемые и фактические результаты сужаются, казино получают почти точно 5,26 процента с каждого доллара, поставленного на рулетке).
В отличие от неизменного закона тяготения, который точно предсказывает каждый результат, законы теории вероятности не могут предсказать результат любого отдельного события. Это, однако, не уменьшает их применимость. Теория вероятности и статистический вывод – обязательные элементы научного исследования. Эти инструменты, основанные на законах теории вероятности, позволяют ученым весьма точно определять, когда группы событий не происходят в соответствии со случайными ожиданиями.
Вы, возможно, спрашиваете себя: «Какое отношение бросание монеты и рулетка имеют к инвестированию?» Проще говоря, понимание разницы между случайными происшествиями и предсказуемыми событиями поможет вам понять, вопреки вашей интуиции, важные результаты исследования, которые описываются в следующих главах. Например, как изменились бы курсы акций, если бы последовательность ежедневных изменений курсов была полностью независима от предыдущих изменений курсов?
Для нахождения моделей в поведении колеса рулетки сначала выдвигается предположение, что результаты вращения колеса будут чисто случайными, а затем фактическое поведение сравнивается с этим эталоном. Точно так же в примере с бросанием монеты мы можем ожидать некоторое процентное различие между ожидаемыми и наблюдаемыми результатами. Выдвижение гипотезы о том, что изменения курсов акций происходят случайно, позволяет изучить их на отклонения от случайного поведения. Затем с помощью методов статистического анализа любые несоответствия могут быть классифицированы либо как статистически значимые, либо как случайные флуктуации.
Этот подход позволяет исследователю изолировать любые предсказуемые модели, которые могли бы быть полезны для инвестиционных стратегий.
Вооружившись пониманием статистической независимости, ожидаемых значений и отклонения, теперь можно вернуться к вопросу, в котором мы должны были отобрать реальную последовательность бросания монеты от двух искусственных последовательностей. Были такие варианты:
a. ООООРР.
b. ОРОРРО.
c. РРРРРР.
Когда людей просят отличить реальную последовательность от двух искусственных последовательностей, легко побеждает последовательность «Ь» – ОРОРРО. По правде говоря, однако, выпадение каждой последовательность столь же вероятно, сколь и выпадение любой другой последовательности. Шесть последовательных бросков приведут к одной из 64 одинаково вероятных последовательностей. (Два последовательных броска монеты приведут к одной из четырех возможных последовательностей (то есть 22 = 4); три последовательных броска монеты приведут к одной из восьми возможных последовательностей (то есть 23 = 8); шесть последовательных бросков приведут к одной из 64 возможных последовательностей (то есть 26 = 64)).
Популярный же ответ имеет отношение к бихевиористской экономике – восприятию людьми того, как должны выглядеть реальные последовательности подбрасывания монеты – и абсолютно никакого отношения к статистической вероятности.
Закон малых чисел
После изучения вероятностей, связанных с определенными последовательностями подбрасываний монеты, стоит рассмотреть несколько особенно важных вопросов о вероятности определенных сгруппированных результатов.
Рассмотрим пример. Петр и Дарья играли в бросание монеты каждый день в течение 1 000 последовательных дней, охватывающих большую часть трех прошедших лет. Пётр всегда ставил на орла; Дарья всегда ставила на решку. Их монета была симметричной, и у Пётра, и у Дарьи были одинаковые шансы на победу.
Пётр был впереди в любой взятый день, если число орлов превышало число решек. Дарья была впереди в любой взятый день, если число решек превышало число орлов. Что из нижеперечисленного является наиболее вероятным описанием их игры?
a. Со временем лидерство между Пётром и Дарьей менялось часто, поскольку проценты их выигрышей постоянно колебались между 48 и 52 процентами.
b. Один из игроков быстро вышел вперед – и остался впереди – в более чем 96 процентах бросков.
Как обсуждалось ранее, при любом броске симметричной монеты вероятность выпадения орла против решки равна точно 5050. Ясно, что чем больше бросков, тем больше уменьшается процентное отклонение от ожидаемого.
И все же даже в совершенно случайной игре типа бросания монеты появляются победители и проигравшие. Более того, как только победители оказываются впереди, маловероятно, что они оставят свои выигрышные позиции. Разговор об алогичном! Правильный ответ на поставленный выше вопрос – «Ь» – один из игроков быстро вышел вперед – и остался впереди – в более, чем 96 процентах бросков. Урок, который можно получить из этого примера, заключается в том, что даже если кажется, что один игрок обладает лучшим мастерством, это – иллюзия. Вас одурачили, заставив думать, что существует модель в последовательности бесспорно случайных результатов.
А вот еще вопрос. Вы и ваш друг бросаете монету один раз в день. Вы всегда ставите на орла; ваш друг всегда ставит на решку. На выигрыш какого числа бросков подряд вы и ваш друг имеете шанс вероятнее всего приблизительно через два месяца?
a. Одного.
b. Двух.
c. Трех.
d. Четырех.
e. Пяти.
Правильный ответ на этот вопрос – «е» – после 60 подбрасываний монеты, каждый из двух игроков имеет шанс вероятнее всего на выигрыш пяти бросков подряд.
Урок здесь заключается в том, что мы ожидаем, что случайные последовательности – такие, какие имели место при бросании монеты – будут чередоваться между орлами и решками; однако, по правде говоря, действительно случайные последовательности имеют гораздо больше повторений одного результата, чем наша интуиция заставляет нас думать. Серии из четырех, пяти или шести орлов или решек подряд приходят в столкновение с нашими ожиданиями чередования последовательностей орлов, затем решек, а затем опять орлов. И все же, в ряде только из 20 бросков монеты вероятность того, что выпадет четыре орла подряд, равна 50–50, вероятность пяти орлов подряд равна 25 процентам, а вероятность серии из шести орлов – 10 процентам.
Экономисты-бихевиористы называют нашу тенденцию видеть модели там, где они не существуют, «кластерной иллюзией». Важность этого понимания заключается в неизбежном заключении, что трудности, которые мы испытывает при точном распознавании случайных расположений событий, могут заставить нас поверить в те вещи, которые не являются истинными, а также считать, что что-то является систематическим, упорядоченным и 'реальным', в то время как в действительности это случайно, хаотично и иллюзорно. Мы предрасположены видеть порядок, модель и значение в мире; мы находим случайность, хаос и бессмысленность неудовлетворительными. Человеческая природа ненавидит недостаток предсказуемости и отсутствие значения».
Еще пример. Одна из следующих последовательностей является реальной последовательностью, которая была получена в результате вращения иглы на (симметричном) круге, показанном на Рис. 1. (К означает красный, а З – зеленый). Две другие последовательности – вымышлены. Обратите внимание, что вероятность того, что игла остановится на зеленом – четыре из шести (66,7 процента); вероятность того, что игла остановится на красном – два из шести (33,3 процента).
Какой из следующих рядов имеет самую высокую вероятность того, что он является реальной последовательностью?
a. КЗККК.
b. ЗКЗККК.
c. ЗККККК.
Обратите внимание, что последовательность КЗККК в варианте «а» вставлена в последовательность ЗКЗККК в варианте «Ь». Меняет ли это ваш ответ?
