— Как так? — спросил Илюша. — Ясно, что Ахиллесу надо будет пробежать… сколько же это выходит?.. всего сто одиннадцать шагов, чтобы догнать черепаху…
— Твое слово «никогда», видишь ли, нехорошо в этом случае по той причине, — пояснил Радикс, — что на самом дело ты ведь не имеешь в виду времени, а хочешь только сказать, что в разложении процесса на этапы придется иметь дело с бесконечным числом этих этапов. К фактическому осуществлению вращения наклонной, протекающему в конечный промежуток времени, или к движению Ахиллеса это прямого отношения не имеет. Нас здесь интересует не время, а именно последовательные этапы процесса. Их удобнее всего было бы просто нумеровать: первый этап, второй и так далее, вовсе не
— 219 —
упоминая о времени. Если тебе придет в голову разлагать какой-нибудь действительный процесс движения на такого рода этапы, то это будет только воображаемая операция. И при подсчете времени, например, надо будет учесть, что действительное движение вовсе не обязано считаться с этим разложением и может проскочить через все твои этапы за конечный промежуток времени. Конечно, это все не очень простые вещи. Здесь есть над чем подумать, но мы пока ограничимся этим…
— Ограничимся? То есть как это ограничимся? — снова окрысился командор. — Ведь молодой человек сказал же, что переменная величина (помнится, там шла речь об угле) никогда не достигает своего предела…
— Но теперь я буду это понимать в том смысле… — заторопился Илюша.
— Ни в каком смысле это не верно, молодой человек! Вот рассмотри такое движение наклонной. Из ее основания по другую сторону основного отрезка я восстановлю к нему перпендикуляр, а около него построю полуокружности одинакового радиуса, с центрами на этом перпендикуляре: одну по одну сторону от него, а следующую, соседнюю с ней снизу, — по другую, и так змейкой все дальше и дальше. Теперь вообрази себе прямую, которая все время проходит через основание этого перпендикуляра и через меняющую свое положение вторую точку, а та, в свою очередь, пробегает построенную то-
— 220 —
бой змейку сверху вниз. Что будет происходить с этой прямой?
— Она начнет поворачиваться сначала в одну сторону, потом немного меньше в другую, потом опять в ту…
— Вот теперь и проследи, хотя бы для сравнения с наклонной, за верхней частью этой твоей прямой: она будет колебаться около перпендикуляра. И, как ты думаешь, в пределе, когда точка по змейке будет удаляться все дальше и дальше, что же ты сможешь сказать об угле, который образует эта прямая с основным отрезком?
— Этот угол будет стремиться к прямому как к своему пределу, — отвечал Илюша. — Каждый раз, когда точка на змейке будет попадать на перпендикуляр, этот угол будет прямым… Но в конце концов…
— Если точка будет двигаться по змейке, то никакого конца концов тут нет. Только колебания около перпендикуляра будут, как говорится, затухать. Но ты мог бы прекратить строить змейку в каком-нибудь месте и заставить точку бежать дальше по перпендикуляру. Тогда у тебя прямой угол появился бы на соответствующем этапе процесса. И дальше он так бы и оставался прямым на всех дальнейших этапах бесконечного удаления точки вниз по перпендикуляру. И в этом случае ты можешь сказать, что в пределе угол, за изменением которого ты следил, будет равен прямому. В последней нашей схолии мы еще покажем тебе нечто в этом роде.
А вслед за этим командор улетел в неизвестность.
— Только вот чего я еще не понимаю, — сказал, вздыхая, Илюша.
— Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?
— Видишь ли, — ответил Радикс, — на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы «исчерпывать» ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее «исчерпанию». Такое «исчерпание» конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.
— 221 —
— Как это может быть? — спросил Илюша. — Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма…
— Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.
Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на n равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/n, а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.
— Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей? — спросил Илюша.
— Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π. Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2πr. Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число — назовем его опять n — маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.
Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере. Однако смысл
— 222 —
всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание — длину дужки — на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2πr, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга — πr2. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, — промолвил в заключение Радикс, — можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке…
— В порядке! Ха-ха-ха! — раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.
— Хм!.. — грустно заметил Радикс. — Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?
— Н-не знаю… — неуверенно признался Илюша.
— А не попробовать ли нам сначала? — крикнул Мишка.
— Давай попробуем! — робко сказал Илюша.
И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:
— 223 —
S = a1 (qn — 1) / (q — 1) — a1 / (q — 1) = a1 + a2 + a3 + … an
