выше при объяснении того, как опционы, не зависящие от последовательности цен, при динамическом хеджировании становятся зависимыми. В данном случае речь идет о статических, а не о динамических хеджах.
При репликации бинарного опциона колл-спредом следует обращать внимание на предельные случаи. Колл-спред работает за пределами страйков, а не внутри. Таким образом, чем более узкий колл-спред, тем совершеннее репликация.
Колл-спред как предельное разложение бинарного опциона всегда будет стоить дороже – его цена всегда выше на небольшую величину, стремящуюся к нулю по мере сужения приращений.
Верификация. Расширение приращений для покрытия спреда на 50 дельт (т. е. котирующегося эквивалентно реверсии риска на 25 дельт) обуславливает следующие цены страйк: 95,7 и 105,4, т. е. отстоящие друг от друга на 9,7 пункта. Следовательно, чтобы получить $100, придется исполнить 9,52 спреда по хеджу, если ставка сыграет (если рынок поднимется выше 105,4), и потерять премию, выплаченную за спред, если рынок опустится ниже 95,7. С учетом перекоса волатильности цена ванильного колл-спреда составит $52,3, в то время как его цена по формуле Блэка–Шоулза–Мертона (при использовании одинаковой волатильности для обеих ног) будет равна $49, т. е. справедливой стоимости ставки без учета перекоса волатильности.
Формальное ценообразование с учетом перекоса волатильности
На уровне интуиции цена бинарного опциона может быть определена как риск-нейтральная (т. е. без учета среднего значения доходности активов в уравнении вследствие дельта-нейтральности) вероятность в итоге оказаться в деньгах. Если вспомнить рассмотренную выше концепцию идеальной репликации с помощью колл-спреда, то получим следующее уравнение:
где C – цена опциона колл, K – цена страйк бинарного опциона, h – разница между ценами страйк реплицирующего колл-спреда.
Это похоже на производную опциона колл по цене страйк[190].
Далее, если трейдер считает, что волатильность опциона колл является функцией h, то он получает функцию перекоса волатильности и механизм ценообразования.
Если перекос волатильности – функция K, т. е. σ(K), то наклон перекоса в точке K – это производная волатильности по цене страйк, как показано на рис. 17.5. Цена ставки составляет:
δC/δK + δC/σδ × σδ/δK = ставка (без учета отклонения) + вега ванильного колла с тем же страйком × наклон перекоса[191].
Пример. Спот торгуется на уровне 100. Для простоты примем, что процентные ставки нулевые. Рассмотрим 3-месячный 100 колл ставки. При сроке исполнения 3 месяца перекос волатильности между точками 99,5 и 100,5 увеличивается на 0,5 пункта. Наклон перекоса будет составлять 0,5/1 = 0,5. Вега колла ставки при деньгах со сроком исполнения 3 месяца составляет 0,19 на 1 пункт волатильности. Следовательно, цена ставки составляет 0,496 (цена, рассчитанная по формуле Блэка–Шоулза–Мертона при волатильности 15,7 %) + 0,19 × 0,5 = 0,591 за единицу, приносящую выплату при экспирации в случае, если ставка сыграла.
Парадокс перекоса волатильности
Задача. Читателю говорят, что рынок в любой день растет только с шагом $1 и падает с шагом $9 без другого возможного изменения цены. Такое движение показано на рис. 17.6. Девять из десяти шагов – вверх, один шаг – вниз. Во сколько читателю обойдется 1-дневный колл ставки при деньгах с выплатой в размере $1, если рынок завтра закроется выше сегодняшнего уровня?
Ответ: $0,90. Дело в том, что ставка зависит не от ожидаемой выплаты, а от ожидаемого количества раз, когда цена спот будет выше сегодняшнего уровня. Тот факт, что рынок серьезно падает, не играет роли. Выплата по опциону ставки одинакова при падении рынка и на $1, и на $50.
Как правило паритета пут-колл, так и использование рассмотренной выше концепции приводит нас к значению 0,1 для пута. Это объясняет перекос волатильности на интуитивном уровне и показывает разницу между ставкой и дельтой: последняя, в отличие от ставки, зависит от амплитуды движений, поскольку трейдер должен быть защищен от такой возможности.
Графически это можно представить так, как показано на рис. 17.7. Область A должна быть равна области B. Финансовые рынки накладывают ограничение на любую ценную бумагу, чтобы левый интеграл был равен правому плюс риск-нейтральный дрейф, что приводит к среднему риск-нейтральному дрейфу m.
Следовательно, m рассчитывается так:
где f(x) – выплата, p(x) – вероятность этой выплаты.
Это не означает, что одинаковое число наблюдений будет иметь место по обе стороны ограды. Дело в том, что для ставки важно количество наблюдений, а не ожидаемые значения каждого из них.
Поэтому ставка на то, что на определенную дату x будет выше m, рассчитывается просто:
Перекос в сторону увеличения потенциальной выплаты по левому интегралу необходимо компенсировать за счет сдвига математического ожидания вправо, чтобы предотвратить ситуацию, когда рынки обеспечивают короткому продавцу более высокую ожидаемую доходность, чем длинному держателю (так называемая концепция честной игры в кости) (рис. 17.8).
Еще несколько слов об отличии бинарного опциона от дельты: парадокс дельты
Почему дельта не является вероятностью исполнения опциона?
Просто потому, что дельта учитывает выплаты.
На графике асимметричного распределения (рис. 17.7) дельта является просто правым интегралом для колла и левым – для пута. Грубо говоря, вероятность оказаться в деньгах – это бинарный опцион.
Отличие тонкое. При геометрическом броуновском движении распределение смещено вправо (кумулятивный эффект логнормальности обсуждался в главе 7), и чем выше волатильность, тем сильнее сдвиг с ростом актива на постоянный процент. Чем выше волатильность, тем сильнее сдвиг вправо. Это приводит к росту дельты как средства защиты при хеджировании.
Рост волатильности сопровождается увеличением правой части распределения. При более высокой волатильности в распределении будет наблюдаться разбухание правой части, иллюстрирующее эффект логнормальности. В соответствии с рассмотренным выше принципом это приведет к увеличению риск-нейтральной частоты наблюдений слева согласно принципу честной игры в кости, действующему в окружающей среде (см. модуль B). Такое увеличение количества наблюдений требуется для компенсации разницы между выплатой справа и выплатой слева. Следовательно, цена ставки упадет.
Дельта учитывает как возможные выплаты, так и их частоту, в то время как бинарный опцион учитывает только их частоту.
Мастер опционов: ценообразование на европейские ставки
Ванильный опцион колл = хN [d1] – k Exp [–rt] N [d2].
Дельта = N [d1].
Бинарный спот колл = e–rt N [d2].
Бинарный спот пут = e–rt (1 – N [d2]).
Бинарный спот колл = N [d2].
Бинарный спот пут = (1 – N [d2]).
S – базовый актив;
r – ставка процента в валюте расчетов;
rf – доходность актива (курс зарубежной валюты или дивидендные выплаты);
K – цена страйк;
t – время до экспирации.
Мастер опционов (продвинутый): дельта Дирака
Дельта Дирака обычно используется как импульсная функция. Она облегчает трейдерам визуализацию поведения волатильности в момент времени вблизи какого-либо чрезвычайного события. Дневная волатильность при этом может оставаться на уровне, скажем, 16 %, но форвард-форвардная волатильность будет чрезвычайно высокой (в сотни или тысячи раз выше), что сделает ее трудноизмеримой.
Дельта-функция может быть упрощена следующим образом. Пусть e – наименьшая возможная единица, какую только можно представить. Площадь прямоугольника со сторонами 1/e и e составит 1, в то время как все окружающие его области будут иметь значение 0.
Упрощенно это можно представить так: δ(t) = 1/e для 0 < t < e; δ(t) = 0 в любом другом месте.
Дельта Дирака часто
