о существе изучаемого процесса, который отображается временным рядом. Как правило, тип тренда должен соответствовать характерным особенностям процесса. В гл. 4 для каждого типа тренда приведены примеры выражаемых этим типом процессов. Определяя другие процессы по временным рядам, полезно по указанным примерам подобрать подходящие типы тренда. Если, например, изучается динамика продуктивности коров или валового надоя молока, то эти процессы аналогичны представленной в гл. 4 динамике урожайности, и скорее всего они отобразятся линейным трендом. Если изучается динамика расхода бензина на 100 км пробега автомобиля по мере развития и совершенствования двигателей, то этот процесс аналогичен динамике снижения трудоемкости при освоении технологии производства изделий, и, вероятнее всего, он будет отображаться гиперболическим трен-
Но жизнь, практика всегда гораздо богаче, разнообразнее любых гипотез и теорий: фактические временные ряды, особенно относящиеся к отдельным предприятиям, малоинерционным системам или к ограниченным отрезкам времени, могут и не соответствовать тем аналогам по существу процесса, которые приведены в предыдущей главе. Кроме того, характер тенденции часто маскируется значительной колеблемостью уровней ряда, поэтому требуется специальная методика распознавания типа тренда, наилучшим образом отражающего тенденцию фактического ряда уровней, чему и посвящена эта глава. После определения типа тренда необходимо вычислить оценки его параметров, как правило, по методу наименьших квадратов, а также с использованием специфических приемов для логарифмического или логистического типа тренда.
5.1. Применение графического изображения для распознавания типа тенденции
Графическое изображение во многих случаях позволяет приближенно выявить тип тенденции временного ряда. Но для этого следует соблюдать правила построения графика: точное соблюдение масштаба как по величине уровней ряда, так и по времени. Временные интервалы откладывают по оси абсцисс, величины уровней — по оси ординат. По каждой оси следует установить такой масштаб, чтобы ширина графика была примерно в 1,5 раза больше его высоты. Если уровни ряда на всем протяжении периода много больше нуля и между собой различаются не более чем на 20–30 %, то следует обозначить перерыв на оси ординат, увеличить масштаб так, чтобы меньший из уровней ненамного превышал разрыв оси. Если уровни ряда различаются в десятки, сотни и тысячи раз, ось ординат следует разметить в логарифмическом масштабе, чтобы равные отрезки означали различие уровней в одинаковое число раз. Интерпретация вида графика будет другой: при линейном масштабе график, близкий к прямой линии, означает линейную тенденцию, а при логарифмическом масштабе оси ординат прямая линия показывает экспоненциальную тенденцию.
Необходимо строго соблюдать равенство промежутков времени на равных отрезках оси абсцисс. Логарифмический масштаб по времени не рекомендуется, так как он крайне затруднит интерпретацию графика. Рассмотрим пример графического изображения, представленный на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Динамика урожайности зерновых во Франции
—∙— фактические уровни
— тренд
Видно, что линейный тренд хорошо подходит для отражения тенденции динамики урожайности зерновых культур во Франции: прямая проходит как бы посреди колеблющихся точек — уровней лет.
Но не всегда график позволяет выбрать тип линии тренда. Трудно графически отличить параболу от экспоненты, логарифмическую кривую от гиперболы и т. д. Оценка типа тренда по типу графика включает субъективные моменты, что может привести к ошибке. Есть много способов объективной, статистико-математической оценки пригодности того или иного типа линии. Весьма популярен его выбор с помощью перебора на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) всех имеющихся в пакете программ статистического анализа типов линий либо по наименьшему среднему квадратическому отклонению, либо по наименьшему модулю отклонений фактических уровней от расчетных по проверяемой линии. Недостатки данной методики заключаются в том, что, во-первых, не все пакеты программ статистического анализа содержат достаточный выбор линий тренда, но главное состоит в том, что, как уже указано в гл. 4, чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем меньше и отклонений отдельных уровней от тренда. Парабола II порядка, а тем более III и более высоких порядков всегда при таком подходе «лучше», чем прямая или экспонента.
Но «преимущество» параболы над прямой может быть невелико. Следовательно, нужно применить опять же статистико-математические критерии существенности уменьшения среднего отклонения при переходе от прямой к параболе. Не отрицая допустимости указанной методики с дополнительной проверкой существенности снижения среднего отклонения от тренда, рассмотрим и другие методы выбора типа тренда без вычисления последнего, а также средних отклонений.
5.2. Методика проверки статистических гипотез о типе тренда
Предположим, что предварительная гипотеза о типе тренда выбрана на основе теоретических соображений об изучаемом процессе и на основе графического изображения. Для того чтобы проверить данную гипотезу, необходимо сформулировать ее математически. Так, гипотеза о том, что тренд является прямой линией, означает, что на всем периоде временной ряд в среднем сохраняет постоянную величину абсолютного изменения уровней. Гипотеза о параболе II порядка означает, что на всем периоде (в среднем) имеется постоянная величина ускорения абсолютных изменений. Гипотеза об экспоненциальном тренде подтвердится, если можно будет доказать, что на периоде сохраняется постоянная величина (в среднем) цепного темпа изменений.
Для указанных трех типов линий предлагается следующая методика статистической проверки гипотез, разработанная М.С. Каяйкиной и А.И. Манеллей:
1) чтобы снизить искажающее тренд влияние колебаний, проводится сглаживание ряда уровней, например, по пятилетней скользящей средней;
2) по ряду сглаженных уровней вычисляются цепные абсолютные изменения
Δi = yi+1— yi, (для параболы — ускорения, для экспоненты — темпы);
3) ряд разбивается на несколько равных или примерно равных подпериодов, и по каждому вычисляется средняя величина того параметра, постоянство которого подтверждает выдвинутую гипотезу о типе тренда: средний абсолютный прирост — для прямой, среднее ускорение — для параболы, средний темп — для экспоненты;
4) методом дисперсионного анализа при многих средних значениях проверяемого параметра или по t-критерию при двух значениях проверяется существенность различия средних значений параметра в разных подпериодах исходного ряда. Если нельзя отклонить гипотезу о несущественности различий средних величин параметра в разных подпериодах, то принимается гипотеза о соответствующем типе тренда. Если различия средних признаются существенными, гипотеза о данном типе тренда отвергается и выдвигается следующая гипотеза в порядке усложнения: после отклонения прямой линии — об экспоненте; после отклонения экспоненты — о параболе; при отклонении параболы — о других типах линий.
Рассмотрим применение данной методики на примере динамики урожайности зерновых культур во Франции. На основании графика, представленного на рис. 5.1, предложена гипотеза о линейном тренде (табл. 5.1).
Далее проводится дисперсионный анализ различий между средними абсолютными изменениями, результаты которого представлены в табл. 5.2.
Полученное значение F-критерия значительно ниже табличного для значения 0,05, следовательно, различия между средними значениями цепных
