т. е.
ti —
t¯, а это то же самое, что и номера периодов от середины ряда.
Ввиду этого если в начале ряда находятся уровни с отрицательными отклонениями от нормы, от тренда (например, неурожайные годы), а в конце ряда располагаются уровни с положительными отклонениями от тренда (высокоурожайные годы), то среднегодовой прирост урожайности в линейном тренде, или ускорение прироста в параболе, будет завышен за счет случайной колеблемости. Если же в начале ряда будут находиться уровни с положительными отклонениями от тренда, а в конце его — с отрицательными, то параметры трендов будут занижены.
Следующий шаг в освобождении параметров тренда от влияния случайного распределения положительных и отрицательных колебаний уровней на протяжении временного ряда можно сделать, применяя методику многократного скользящего выравнивания [20].
Сущность данного метода довольно проста: чтобы избежать преимущественного влияния уровней, стоящих на концах временного ряда, следует сделать так, чтобы «на концах» побывали все уровни. Для этого следует достаточно длинный временной ряд выравнивать не в один прием, а скользящим способом по более дробным отрезкам. Например, ряд динамики урожайности зерновых культур во Франции (см. табл. 5.1), состоящий из 26 уровней (N = 26), необходимо выравнивать по 15 уровням: сначала — с 1970 по 1984 г., затем — с 1971 по 1985 г. и т. д., скользя по ряду на 1 год, вплоть до последних 15 уровней с 1981 по 1995 г. При этом каждый раз вычисляется среднегодовой прирост, например, Ь линейного тренда, а на концах будут года, то благоприятные для урожая зерновых, то неблагоприятные и по метеорологическим, и по экономическим условиям. Всего получим 12 разных баз выравнивания по 15 лет; обозначив буквой n длину каждой базы, т. е. число уровней, по которым производится расчет параметра, а число таких баз расчета, укладывающихся в ряд длиной N уровней, — буквой l, составим равенство:
n + l = N + 1.
В ряду из 26 уровней уложатся 12 баз по 15 уровней в каждой. Получим 12 значений среднегодового прироста урожайности, часть из них — заниженные, часть — завышенные, часть — неискаженные. Теперь разумно усреднить полученные значения параметра: ведь в средней величине случайные отклонения взаимно погашаются. Получим значение среднегодового прироста, максимально освобожденное от влияния случайного распределения неурожайных или благоприятных лет по длине исходного временного ряда.
Методика многократного скользящего выравнивания имеет, как, впрочем, и всякая иная, свои ограничения.
Во-первых, для ее применения необходимо иметь достаточно длинный временной ряд при наличии в нем единой качественной тенденции. Если для однократного расчета параметра достаточным (минимальным) можно считать ряд из 9-11 уровней, а для достаточной степени взаимопогашения в средней величине следует иметь не менее 6–8 заниженных и завышенных значений параметра, т. е. минимальное значение будет l ~ 6–8, то минимальная длина исходного временного ряда, т. е. N, должна составлять m + 1–1 = (9 + 6–1) — (11 + 8–1), или от 14 до 18 уровней. При более коротких рядах применение многократного скользящего выравнивания нецелесообразно.
Во-вторых, многократное выравнивание следует применять, если колеблемость исходных уровней достаточно существенная, скажем, коэффициент колеблемости (см. о нем в гл. 6) хотя бы не ниже 5 %. При более слабой колеблемости искажения параметра невелики и при однократном выравнивании, поэтому нет необходимости «стрелять из пушки по воробьям», применяя сложную методику многократного выравнивания.
В-третьих, при наличии долгопериодических (циклических) колебаний, чтобы многократное выравнивание не привело к искажению значения параметра тренда, необходимо соблюдать хотя бы одно из двух условий:
1) длина базы выравнивания, т. е. п, должна быть равна или кратна длине цикла;
2) число баз скользящего выравнивания, т. е. 1, должно быть равно длине цикла.
При соблюдении одного из указанных условий или обоих будут перебраны на началах и концах базы выравнивания все фазы цикла в равном количестве, и тогда циклическая колеблемость, равно как и случайная, в основном будет исключена из усредненного значения параметра тренда.
Наконец, следует помнить, что искажающее влияние распределения случайных отключений по длине временного ряда относится только к параметру динамики — среднегодовому (месячному и т. д.) приросту, ускорению и т. д., но не к среднему уровню ряда, не к свободному члену уравнения тренда. В связи с этим не нужно усреднять значения свободного члена по скользящим базам, а в качестве свободного члена для прямой следует взять общую среднюю величину уровней исходного ряда, т. е.
Для параболы, экспоненты и т. д. свободный член определяется расчетом на основе этой же средней величины. Так, для параболы:
Рассмотрим пример многократного скользящего выравнивания по данным табл. 5.1. Тренд, как показано ранее, линейный, но колеблемость существенная. Сделаем 12 скользящих баз расчета среднегодового прироста по 15 уровней в каждой. Вид таблицы для расчета без помощи ЭВМ приведен в приложении 1.
Средний уровень: а = y¯ = 1332,4/26 = 51,25 ц/га.
Среднее среднегодовое изменение (прирост):
Уравнение тренда: y^i = 51,25 + 1,452∙ti, где = 0,5 в 1983 г.
По этому уравнению в приложении 1 вычислены уровни тренда и отклонения от него.
Как видно из табл. 5.9, среднегодовой прирост по скользящим базам расчета сначала несколько возрастает, а затем снижается. Поскольку нет определенного направления тенденции изменения величины bi, можно считать, что их различие — следствие колебаний уровней и небольших колебаний скорости роста урожайности, однако, в пределах единой линейной тенденции. В связи с этим допустимо усреднение значений среднегодового прироста.
Если же в результате многократного скользящего выравнивания обнаружится систематическое и существенное возрастание или убывание среднегодового прироста, это означает, что тенденция на самом деле не линейная, а параболическая, экспоненциальная, гиперболическая или логарифмическая. Таким образом, по результатам многократного выравнивания можно исправить допущенную на предыдущих этапах (если они выполнялись) ошибку в определении типа тренда или в периодизации динамики.
Особенно сложно оценить параметры тренда при несинусоидальных и сезонных колебаниях (см. разд. 6.3). Для каждого типа тренда необходима специальная методика, иначе параметры тренда будут искажены, а значит, и сами колебания преувеличены или наоборот. Такие методики не излагаются, насколько нам известно, ни в каких учебниках или монографиях, их нет и в пакетах статистических программ для ЭВМ. Данное пособие не позволяет по своему объему включить много таких методик, поэтому изложена одна — для линейного тренда в разд. 6.3.
В заключение данной главы на примере последнего тренда покажем, как рассчитать описанные в гл. 3 показатели динамики.
Абсолютное изменение: если тренд линейный, то оно — главный параметр, т. е. Ь или Ь¯ при
