В дальнейшем неоднократно будем использовать Центральную Предельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин e k , k = 1,2,…,n (с весами), поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности e k , k = 1,2,…,n, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент. Однако заострять внимание на этих внутриматематических «условиях регулярности» нет необходимости.
Асимптотические распределения оценок параметров. Из формулы (2) следует, что
Согласно ЦПТ оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией δ2/n оценка которой приводится ниже.
Из формул (2) и (5) вытекает, что
Последнее слагаемое во втором соотношении при суммировании по i обращается в 0, поэтому из формул (2–4) следует, что
Формула (6) показывает, что оценка α* является асимптотически нормальной с математическим ожиданием α и дисперсией
Отметим, что многомерная нормальность имеет быть, когда каждое слагаемое в формуле (6) мало сравнительно со всей суммой, т. е.
Из формул (5) и (6) и исходных предположений о погрешностях вытекает также несмещенность оценок параметров.
Несмещенность и асимптотическая нормальность оценок метода наименьших квадратов позволяют легко указывать для них асимптотические доверительные границы (аналогично границам в предыдущей главе) и проверять статистические гипотезы, например, о равенстве определенным значениям, прежде всего 0.
Асимптотическое распределение прогностической функции. Из формул (5) и (6) следует, что
т. е. рассматриваемая оценка прогностической функции является несмещенной. Поэтому
При этом, поскольку погрешности независимы в совокупности и M(ei)=0, то
Таким образом,
Итак, оценка x*(t) является несмещенной и асимптотически нормальной. Для ее практического использования необходимо уметь оценивать остаточную дисперсию M(ei2)=δ2.
Оценивание остаточной дисперсии . В точках t k , k = 1,2,…,n, имеются исходные значения зависимой переменной x k и восстановленные значения x*(t k ). Рассмотрим остаточную сумму квадратов
В соответствии с формулами (5) и (6)
Найдем математическое ожидание каждого из слагаемых:
Из сделанных ранее предположений вытекает, что при
имеем
следовательно, по закону больших чисел статистика SS/n является состоятельной оценкой остаточной дисперсии δ2.
Получением состоятельной оценкой остаточной дисперсии завершается последовательность задач, связанных с рассматриваемым простейшим вариантом метода наименьших квадратов. Не представляет труда выписывание верхней и нижней границ для прогностической функции:
где погрешность δ(t) имеет вид
Здесь p – доверительная вероятность, U(p), как и в главе 4 – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 , т. е.
При p= 0,95 (наиболее применяемое значение) имеем U(p) = 1,96. Для других доверительных вероятностей соответствующие значения квантилей можно найти в статистических таблицах (см., например, наилучшее в этой сфере издание [9]).
Сравнение параметрического и непараметрического подходов. Во многих литературных источниках рассматривается параметрическая вероятностная модель метода наименьших квадратов. В ней предполагается, что погрешности имеют нормальное распределение. Это предположение позволяет математически строго получить ряд выводов. Так, распределения статистик вычисляются точно, а не в асимптотике, соответственно вместо квантилей нормального распределения используются квантили распределения Стьюдента, а остаточная сумма квадратов SS делится не на n, а на ( n–2 ) . Ясно, что при росте объема данных различия стираются.
Рассмотренный выше непараметрический подход не использует нереалистическое предположение о нормальности погрешностей. Распределения, встречающиеся в задачах менеджмента, как правило, не являются нормальными [1]. Платой за отказ от нормальности является асимптотический характер результатов. В случае простейшей модели метода наименьших квадратов оба подхода дают практически совпадающие рекомендации. Это не всегда так, не всегда два подхода бают близкие результаты. Например, в задаче обнаружения выбросов методы, опирающиеся на нормальное распределение, нельзя считать обоснованными, и обнаружено это было с помощью непараметрического подхода.
Общие принципы. Кратко сформулируем несколько общих принципов построения, описания и использования эконометрических методов анализа данных. Во—первых, должны быть четко сформулированы исходные предпосылки, т. е. полностью описана используемая вероятностно—статистическая модель. Во—вторых, не следует принимать предпосылки, которые редко выполняются на практике. В—третьих, алгоритмы расчетов должны быть корректны с точки зрения математико—статистической теории. В—четвертых, алгоритмы должны давать полезные для практики выводы.
Применительно к задаче восстановления зависимостей это означает, что целесообразно применять непараметрический подход, что и сделано выше.
Пример оценивания по методу наименьших квадратов. Пусть даны n = 6 пар чисел ( t k , x k ) , k = 1,2,…,6, представленных во втором и третьем столбцах табл.1. В соответствии с формулами (2) и (4) выше для вычисления оценок метода наименьших квадратов достаточно найти суммы выражений, представленных в четвертом и пятом столбцах табл.1.
В соответствии с формулой (2) b* =26,83, а согласно формуле (4)
Следовательно, прогностическая формула имеет вид
Следующий этап анализа данных – оценка точности приближения функции методом наименьших квадратов. Сначала рассматриваются т. н. восстановленные значения
Это те значения, которые полученная в результате расчетов прогностическая функция принимает в тех точках, в которых известны истинные значения зависимой переменной x i .
Вполне естественно сравнить восстановленные и истинные значения. Это и сделано в шестом – восьмом столбцах табл. 1. Для простоты расчетов в шестом столбце представлены произведения α*t, седьмой отличается от шестого добавлением константы 9,03 и содержит восстановленные значения. Восьмой столбец – это разность третьего и седьмого.
Непосредственный анализ восьмого столбца табл.1 показывает, что содержащиеся в нем числа сравнительно невелики по величине по сравнению с третьим столбцом (на порядок меньше по величине). Кроме того, знаки «+» и «-» чередуются. Эти два признака свидетельствуют о правильности расчетов. При использовании метода наименьших квадратов знаки не всегда чередуются. Однако если сначала идут только плюсы, а потом только минусы (или наоборот, сначала только минусы, а потом только плюсы), то это верный показатель того, что в вычислениях допущена ошибка.
Верно следующее утверждение.
Теорема.
Однако сумма по восьмому столбцу дает 0,06, а не 0. Незначительное отличие от 0 связано с ошибками округления при вычислениях. Близость суммы значений зависимой переменной и суммы восстановленных значений – практический критерий правильности расчетов.
В последнем девятом столбце табл.1 приведены квадраты значений из восьмого столбца. Их сумма – это остаточная сумма квадратов SS = 13,64. В соответствии со сказанным выше оценками дисперсии погрешностей и их среднего квадратического отклонения являются
Рассмотрим распределения оценок параметров. Оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией, которая оценивается как 2,27/6=0,38 (здесь считаем, что 6 – «достаточно большое» число). Оценкой среднего квадратического отклонения является 0,615. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра b имеет вид (26,83 – 1,96 . 0,615; 26,83 + 1,96 . 0,615) = (25,625; 28,035).
В формулах для дисперсий участвует величина
